Прямоугольный параллелепипед в задании 3 ЕГЭ: формулы и разбор

О чём эта подтема

Задание 3 профильного ЕГЭ по математике — это простая планиметрическая или стереометрическая задача на вычисление длины, площади, объёма или угла по данному рисунку. Прямоугольный параллелепипед — одна из самых частых фигур в этом задании, потому что все его элементы связаны простыми формулами, а вычисления не требуют сложной геометрии.

Задача почти всегда сводится к применению теоремы Пифагора (иногда дважды подряд) или к подстановке в формулу площади поверхности либо объёма. Сложность не в геометрии, а в аккуратности: важно правильно понять, какие ребра и диагонали фигурируют в вопросе, и не перепутать обозначения вершин.

Цель этого гайда — собрать весь минимально необходимый набор фактов о прямоугольном параллелепипеде, показать чёткий алгоритм решения и разобрать типовые примеры пошагово.

Что нужно знать

Определение. Прямоугольный параллелепипед — это призма, все грани которой прямоугольники, а боковые ребра перпендикулярны основанию. У него три измерения — длина, ширина и высота, обозначим их $a$, $b$, $c$ (в задачах часто это $AB$, $AD$, $AA_1$).

Обозначение вершин. Стандартно нижнее основание — $ABCD$, верхнее — $A_1B_1C_1D_1$, причём $A_1$ находится строго над $A$, $B_1$ — над $B$ и так далее. Ребро $AA_1$ (а также $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$) — боковое, оно перпендикулярно плоскости основания.

Диагонали граней. Каждая грань — прямоугольник, поэтому её диагональ находится по теореме Пифагора через два ребра этой грани. Например, диагональ нижнего основания: $$AC^2 = AB^2 + AD^2.$$

Главная диагональ параллелепипеда. Отрезок, соединяющий противоположные вершины (например, $A$ и $C_1$, или $A_1$ и $C$), — это пространственная диагональ. Она находится по формуле, которая объединяет все три измерения: $$d^2 = a^2 + b^2 + c^2,$$ где $a$, $b$, $c$ — три ребра, выходящие из одной вершины. Эта формула — фактически теорема Пифагора, применённая два раза: сначала для диагонали основания, потом для диагонали параллелепипеда как гипотенузы прямоугольного треугольника, где один катет — диагональ основания, а второй — боковое ребро.

Площадь полной поверхности. Параллелепипед имеет три пары равных прямоугольных граней с площадями $ab$, $bc$, $ca$. Поэтому: $$S = 2(ab + bc + ca).$$

Объём. $$V = abc.$$

Прямой угол между боковым ребром и основанием. Это ключевой факт, который позволяет применять теорему Пифагора: боковое ребро перпендикулярно любой прямой в плоскости основания, проходящей через его основание. Именно поэтому треугольник, образованный диагональю основания, боковым ребром и пространственной диагональю, — прямоугольный.

Равенство противоположных рёбер. В прямоугольном параллелепипеде противоположные рёбра равны: $AB = CD = A_1B_1 = C_1D_1$, $AD = BC = A_1D_1 = B_1C_1$, $AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1$. Это часто нужно для того, чтобы «перенести» длину нужного ребра из другой части фигуры.

Этого набора фактов достаточно для решения практически любой задачи №3 на прямоугольный параллелепипед: она либо просит найти диагональ (или её квадрат), либо площадь поверхности, либо объём, либо одно из ребер по остальным данным.

Как решать: метод и алгоритм

Шаг 1. Определить, что дано и что нужно найти. Внимательно прочитайте условие: даны ли три ребра, площадь поверхности, объём или диагональ. Отметьте, какие вершины участвуют в вопросе.

Шаг 2. Выбрать подходящую формулу.

• Если нужно расстояние между противоположными вершинами (пространственная диагональ) — используйте $d^2 = a^2+b^2+c^2$.
• Если нужно расстояние между вершинами одной грани — используйте теорему Пифагора для этой грани.
• Если дана площадь поверхности и два ребра, а нужно найти третье — используйте $S = 2(ab+bc+ca)$ и решите уравнение относительно неизвестного ребра.
• Если дан объём и два ребра — используйте $V = abc$.

Шаг 3. Если формула для диагонали не сразу применима (например, вершины не являются концами главной диагонали), разбейте задачу на два шага:

1. найдите диагональ подходящей грани (прямоугольника) по теореме Пифагора;
2. рассмотрите прямоугольный треугольник, где эта диагональ — один катет, боковое ребро — другой катет, а искомый отрезок — гипотенуза, и снова примените теорему Пифагора.

Шаг 4. Подставить числа и решить уравнение. Обычно получается либо прямое вычисление, либо простое линейное уравнение.

Шаг 5. Проверить ответ на здравый смысл. Длины и площади должны быть положительными, квадрат расстояния — не меньше суммы отдельных квадратов ребер (если ищете диагональ).

Разбор примера

Пример 1.

Условие: найдите квадрат расстояния между вершинами $C$ и $A_1$ прямоугольного параллелепипеда, если $AB = 5$, $AD = 4$, $AA_1 = 3$.

Анализ фигуры. Вершины $A_1$ и $C$ — это концы пространственной диагонали: $A_1$ лежит над $A$, а $C$ — вершина основания, противоположная $A$ (диагонально противоположная вершина в прямоугольнике $ABCD$).

Шаг 1. Диагональ основания. Основание $ABCD$ — прямоугольник со сторонами $AB = 5$ и $AD = 4$ (так как $BC = AD$). По теореме Пифагора для треугольника $ABC$ (или напрямую для диагонали прямоугольника): $$AC^2 = AB^2 + AD^2 = 5^2 + 4^2 = 25 + 16 = 41.$$

Шаг 2. Треугольник $ACA_1$. Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания, значит оно перпендикулярно и отрезку $AC$, лежащему в этой плоскости. Поэтому треугольник $ACA_1$ прямоугольный с прямым углом при вершине $A$. Тогда: $$A_1C^2 = AC^2 + AA_1^2 = 41 + 9 = 50.$$

Ответ: $A_1C^2 = 50$.

Заметьте: результат совпадает с прямым применением формулы диагонали параллелепипеда: $$A_1C^2 = AB^2 + AD^2 + AA_1^2 = 25 + 16 + 9 = 50,$$ так как $A$ и $C$, $A_1$ и $C$ — противоположные по пространственной диагонали вершины. Это подтверждает, что при поиске квадрата главной диагонали можно сразу складывать квадраты трёх измерений, минуя промежуточные шаги — но важно сначала убедиться, что именно эти две вершины являются концами пространственной диагонали.

Пример 2.

Условие: два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь полной поверхности равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Шаг 1. Запишем формулу площади поверхности. Обозначим известные рёбра $a = 3$, $b = 4$, неизвестное ребро — $c$. Тогда: $$S = 2(ab + bc + ca) = 94.$$

Шаг 2. Подставим известные значения. $$2(3\cdot 4 + 4c + 3c) = 94.$$ $$2(12 + 7c) = 94.$$

Шаг 3. Раскроем скобки и решим уравнение. $$24 + 14c = 94,$$ $$14c = 70,$$ $$c = 5.$$

Ответ: третье ребро равно 5.

Проверка. Подставим все три ребра $3, 4, 5$ обратно в формулу площади: $$S = 2(3\cdot4 + 4\cdot5 + 5\cdot3) = 2(12+20+15) = 2\cdot47 = 94.$$ Совпадает с условием — ответ верный.

Типичные ошибки

Путаница вершин. Самая частая ошибка — неверное определение, какие вершины являются противоположными по пространственной диагонали, а какие лежат на одной грани. Перед применением формулы диагонали всегда мысленно (или на черновике) восстанавливайте расположение вершин: нижнее основание $ABCD$, верхнее $A_1B_1C_1D_1$, каждая вершина верхнего основания находится строго над соответствующей вершиной нижнего.

Забывают, что диагональ грани — не диагональ параллелепипеда. Если в вопросе спрашивается расстояние между вершинами одной грани (например, $A$ и $C$, лежащими в одном основании), достаточно одной теоремы Пифагора с двумя ребрами. Если же вершины принадлежат разным основаниям и не находятся друг над другом (как $A_1$ и $C$), нужно применить теорему Пифагора дважды.

Ошибки в формуле площади поверхности. Часто забывают множитель 2 перед суммой произведений или путают, какие пары рёбер перемножать. Полезно всегда явно выписывать: $S = 2ab + 2bc + 2ca$, где $a$, $b$, $c$ — три различных измерения, выходящих из одной вершины.

Арифметические ошибки при возведении в квадрат. При подстановке чисел легко ошибиться со знаком или порядком операций. Рекомендуется выполнять вычисления по шагам, не объединяя несколько операций в одну строку, особенно на экзамене в условиях ограниченного времени.

Путают квадрат диагонали с самой диагональю. Если в вопросе спрашивается именно квадрат расстояния (как в примере 1), не нужно извлекать квадратный корень — ответом является число без корня. Внимательно читайте формулировку: «расстояние» и «квадрат расстояния» — разные ответы.

Неверное сопоставление ребер задаче. Если два ребра равны, скажем, 3 и 4, а третье неизвестно, важно не путать его с диагональю грани или пространственной диагональю — это разные величины, и вычисляются они по-разному.

На что обратить внимание на экзамене

Перед тем как решать, чётко определите тип задачи: ищете длину ребра, диагональ грани, пространственную диагональ, площадь поверхности или объём. От этого зависит, какую формулу применять.

Если в задаче фигурируют конкретные буквенные обозначения вершин (например, $A$, $C$, $A_1$), обязательно восстановите (хотя бы мысленно) стандартное расположение прямоугольного параллелепипеда: нижнее основание $ABCD$ обходится по контуру, верхнее $A_1B_1C_1D_1$ повторяет его сверху. Не полагайтесь только на память — лучше нарисовать на черновике даже упрощённую схему.

Если задача сводится к теореме Пифагора, применённой два раза, не пытайтесь угадать короткий путь — распишите оба шага явно: сначала диагональ основания, затем полную (пространственную) диагональ. Это уменьшает риск арифметической ошибки и делает решение проверяемым.

При использовании формулы площади поверхности или объёма подставляйте числа осторожно и сразу проверяйте полученный ответ обратной подстановкой — как это было сделано во втором примере. Такая проверка занимает не больше минуты, но исключает почти все ошибки вычисления.

Помните, что в задании 3 практически никогда не требуется находить углы или сложные сечения прямоугольного параллелепипеда — упор делается именно на длины, площади и объём, поэтому весь набор формул из раздела «Что нужно знать» покрывает подавляющее большинство вариантов заданий.

Наконец, всегда обращайте внимание на то, что именно спрашивается в ответе: число, квадрат числа, или, возможно, ответ нужно округлить. Внимательное чтение условия — половина успеха в этом задании.