Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Прямоугольный параллелепипед

Диагональ $CA_1$ соединяет вершину основания $C$ с вершиной верхнего основания $A_1$. Найдём её пошагово.

Шаг 1. Найдём диагональ $AC$ основания.

В основании параллелепипеда лежит прямоугольник $ABCD$ с сторонами $AD = 2$ и $CD = 2$. Диагональ $AC$ этого прямоугольника найдём по теореме Пифагора: $$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

Шаг 2. Рассмотрим треугольник $CAA_1$.

Этот треугольник прямоугольный: угол $CAA_1$ прямой, потому что боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно основанию $ABCD$. Стороны этого треугольника:

• $CA = 2\sqrt{2}$ (найдена выше)
• $AA_1 = DD_1 = 1$ (так как в параллелепипеде все боковые рёбра равны)
• $CA_1$ — искомая диагональ

Шаг 3. Применим теорему Пифагора к треугольнику $CAA_1$. $$CA_1 = \sqrt{CA^2 + AA_1^2} = \sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} = 3$$