Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Прямоугольный параллелепипед

Обозначим высоту параллелепипеда $AA_1 = h$. В основании параллелепипеда лежит прямоугольник $ABCD$, где $AD = 2$ и $CD = 2$. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, то $AB = CD = 2$.

Шаг 1: Найдём диагональ основания BD.

В прямоугольнике $ABCD$ применим теорему Пифагора к треугольнику $ABD$: $$BD = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

Шаг 2: Найдём высоту параллелепипеда.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDD_1$. Здесь:

• $BD = 2\sqrt{2}$ — катет (диагональ основания),
• $DD_1 = h$ — катет (высота параллелепипеда),
• $BD_1 = 3$ — гипотенуза (пространственная диагональ).

По теореме Пифагора: $$BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2$$ $$9 = 8 + h^2$$ $$h^2 = 1$$ $$h = 1$$

Поскольку $AA_1 = DD_1 = h$, то $AA_1 = 1$.