Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Прямоугольный параллелепипед

Обозначим три ребра параллелепипеда, выходящие из одной вершины, как $a = 1$, $b = 2$ и $c = x$ (неизвестное ребро).

Шаг 1. Составим уравнение для площади поверхности.

Прямоугольный параллелепипед имеет 6 граней, противоположные из которых равны. Площадь поверхности: $$S = 2(ab + ac + bc) = 2(1 \cdot 2 + 1 \cdot x + 2 \cdot x) = 2(2 + 3x) = 4 + 6x$$

Шаг 2. Найдём неизвестное ребро.

По условию $S = 16$: $$4 + 6x = 16$$ $$6x = 12$$ $$x = 2$$

Третье ребро также равно 2.

Шаг 3. Найдём диагональ параллелепипеда.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда соединяет две противоположные вершины и вычисляется по формуле: $$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

Подставим найденные значения: $$d = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$$