ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Прямоугольный параллелепипед

Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Прямоугольный параллелепипед

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.3.2 Параллелепипед; куб; симметрии в кубе, в параллелепипеде5.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB  =  9, BC  =  6, AA1  =  5. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A1, B1, C1.

В подтеме 33 задач
Разбор
Главная идея: Выделенные вершины образуют правильную треугольную призму, объём которой вычисляется по стандартной формуле: площадь основания (половина произведения двух сторон прямоугольника) умноженная на высоту параллелепипеда.

Многогранник с вершинами A, B, C, A₁, B₁, C₁ образует треугольную призму. Её основание — треугольник ABC, вершины которого лежат в нижнем основании параллелепипеда, а верхнее основание — треугольник A₁B₁C₁ в плоскости верхнего основания.

Шаг 1: Определим основание призмы

Треугольник ABC — это прямоугольный треугольник (так как ABCD — прямоугольник параллелепипеда, угол ABC = 90°). Его площадь: SABC=12⋅AB⋅BC=12⋅9⋅6=27S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 6 = 27

Шаг 2: Определим высоту призмы

Высота призмы — это расстояние между параллельными основаниями ABC и A₁B₁C₁. Это расстояние равно высоте параллелепипеда: h=AA1=5h = AA_1 = 5

Шаг 3: Вычислим объём

Для прямой призмы объём равен произведению площади основания на высоту: V=SABC⋅h=27⋅5=135V = S_{ABC} \cdot h = 27 \cdot 5 = 135

Типичные ошибки

  • Забыли, что основание ABC — прямоугольный треугольник с площадью половиной от произведения AB и BC, а не полным произведением
  • Спутали высоту призмы с диагональю или боковым ребром параллелепипеда — высота равна AA₁ = 5
  • Вычислили объём всего параллелепипеда (9·6·5 = 270) вместо половины (так как призма содержит половину его объёма)
Непонятно?

Похожие задачи