ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Прямоугольный параллелепипед

Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Прямоугольный параллелепипед

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.7.2* Комбинации стереометрических тел5.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, B1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB  =  9, BC  =  3, BB1  =  8.

В подтеме 33 задач
Разбор
Главная идея: Многогранник ABCDB₁ — это пирамида с основанием ABCD и вершиной B₁, высота которой равна ребру BB₁.

Многогранник с вершинами A, B, C, D, B₁ — это пирамида, у которой основанием служит прямоугольник ABCD (нижняя грань параллелепипеда), а вершиной является точка B₁.

Шаг 1: Найдём площадь основания.

Основанием пирамиды является прямоугольник ABCD с сторонами AB = 9 и BC = 3.

SABCD=AB⋅BC=9⋅3=27S_{ABCD} = AB \cdot BC = 9 \cdot 3 = 27

Шаг 2: Определим высоту пирамиды.

Высота пирамиды — это перпендикулярное расстояние от вершины B₁ до плоскости основания ABCD. Поскольку параллелепипед прямоугольный, ребро BB₁ перпендикулярно нижней грани. Следовательно, высота пирамиды равна h=BB1=8h = BB_1 = 8.

Шаг 3: Применим формулу объёма пирамиды.

Объём пирамиды вычисляется по формуле:

V=13Sосн⋅hV = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h

Подставим найденные значения:

V=13⋅27⋅8=2163=72V = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 8 = \frac{216}{3} = 72

Типичные ошибки

  • Спутать многогранник с половиной параллелепипеда и применить формулу V = (1/2)·S·h вместо формулы пирамиды
  • Ошибиться в определении основания: взять в качестве основания треугольник вместо четырёхугольника ABCD
  • Забыть, что высота пирамиды должна быть перпендикулярна основанию, и неправильно отождествить её с одним из рёбер
Непонятно?

Похожие задачи