Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Прямоугольный параллелепипед

Многогранник с вершинами $A$, $B$, $B_1$, $C_1$ — это пирамида. Определим её основание и высоту.

Шаг 1. Выбор основания и высоты.

Вершины $A$, $B$, $B_1$ лежат в одной плоскости (грани $ABB_1A_1$ параллелепипеда). Проверим, лежит ли $C_1$ в этой плоскости: нет, $C_1$ находится вне грани. Поэтому основанием пирамиды будет треугольник $ABB_1$, а вершиной — точка $C_1$.

Высотой пирамиды служит перпендикулярное расстояние от $C_1$ до плоскости, содержащей грань $ABB_1A_1$. Это расстояние равно длине ребра $B_1C_1 = AD = 3$ (так как $B_1C_1$ перпендикулярно плоскости $ABB_1A_1$).

Шаг 2. Вычисление площади основания.

Треугольник $ABB_1$ — прямоугольный (угол при $B$ прямой, так как рёбра параллелепипеда взаимно перпендикулярны).

$$S_{ABB_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BB_1 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 10$$

Шаг 3. Вычисление объёма пирамиды.

Используем формулу объёма пирамиды:

$$V = \frac{1}{3} S_{основ} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 10 \cdot 3 = 10$$