Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Прямоугольный параллелепипед

Многогранник с вершинами $A_1, B, C, C_1, B_1$ — это пирамида. Определим её основание и высоту.

Шаг 1. Определяем основание. Вершины $B, C, C_1, B_1$ лежат в одной плоскости — это боковая грань прямоугольного параллелепипеда. Эта грань является прямоугольником со сторонами $BC = AD = 3$ (противоположные рёбра) и $BB_1 = AA_1 = 4$ (высота параллелепипеда). Площадь этого прямоугольника: $$S_{BCC_1B_1} = 3 \cdot 4 = 12$$

Шаг 2. Определяем высоту пирамиды. Вершина $A_1$ не лежит в плоскости грани $BCC_1B_1$. Расстояние от $A_1$ до этой плоскости — это перпендикуляр, опущенный из $A_1$ на плоскость грани. Поскольку $A_1$ находится на ребре $A_1B_1$, а само ребро $A_1B_1$ перпендикулярно плоскости грани $BCC_1B_1$ (так как параллелепипед прямоугольный), высота пирамиды равна длине $A_1B_1 = AB = 4$.

Шаг 3. Вычисляем объём. Используем формулу объёма пирамиды: $$V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 4 = 16$$