Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Прямоугольный параллелепипед

Многогранник с вершинами $A$, $B$, $C$, $D_1$ — это пирамида. Определим её основание и высоту.

Шаг 1. Выбираем основание пирамиды. Основание — треугольник $ABC$, лежащий в нижней грани параллелепипеда. Это прямоугольный треугольник с катетами $AB = 4$ и $AD = 3$ (так как $C$ лежит в точке, диагонально противоположной $A$ в прямоугольнике $ABCD$, и $BC = AD = 3$).

Шаг 2. Найдём площадь основания. $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$$

Это ровно половина площади прямоугольника $ABCD$: $S_{ABCD} = 4 \cdot 3 = 12$.

Шаг 3. Найдём высоту пирамиды. Высота — перпендикулярное расстояние от вершины $D_1$ до плоскости треугольника $ABC$. Плоскость $ABC$ совпадает с нижней гранью параллелепипеда, поэтому расстояние равно высоте параллелепипеда: $h = AA_1 = 4$.

Шаг 4. Вычислим объём пирамиды. $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 4 = 8$$