ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Прямоугольный параллелепипед

Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Прямоугольный параллелепипед

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.3.2 Параллелепипед; куб; симметрии в кубе, в параллелепипеде5.3.3 Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, B1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB  =  3, BC  =  7, BB1  =  5.

В подтеме 33 задач
Разбор
Главная идея: Данный многогранник — пирамида с прямоугольным основанием ABCD на нижней грани параллелепипеда и вершиной B₁, поэтому высота пирамиды — это просто ребро BB₁, перпендикулярное основанию.

Многогранник с вершинами A, B, C, D, B₁ — это пирамида, основание которой лежит на нижней грани параллелепипеда.

Шаг 1: Определяем основание пирамиды Вершины A, B, C, D образуют прямоугольник ABCD — это нижняя грань параллелепипеда. Вершина B₁ расположена над вершиной B на высоте параллелепипеда.

Шаг 2: Находим площадь основания Прямоугольник ABCD имеет стороны AB = 3 и BC = 7 (в параллелепипеде противоположные стороны равны: AD = BC, CD = AB). SABCD=AB⋅BC=3⋅7=21S_{ABCD} = AB \cdot BC = 3 \cdot 7 = 21

Шаг 3: Определяем высоту пирамиды Высота пирамиды — это перпендикулярное расстояние от вершины B₁ до плоскости основания ABCD. Поскольку B₁ находится прямо над точкой B (рёбра параллелепипеда перпендикулярны граням), высота равна ребру BB₁ = 5.

Шаг 4: Применяем формулу объёма пирамиды V=13Sосн⋅h=13⋅21⋅5=1053=35V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 21 \cdot 5 = \frac{105}{3} = 35

Типичные ошибки

  • Спутать основание пирамиды с боковой гранью параллелепипеда вместо нижней грани ABCD
  • Неправильно вычислить площадь прямоугольника основания, перепутав какие рёбра использовать
  • Забыть множитель 1/3 в формуле объёма пирамиды и вычислить объём как полный объём параллелепипеда
Непонятно?

Похожие задачи