Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Прямоугольный параллелепипед

Сначала найдём объём всего параллелепипеда. Для прямоугольного параллелепипеда объём вычисляется по формуле:

$$V_{\text{парал}} = AB \cdot AD \cdot AA_1 = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$$

Теперь разберёмся, какой многогранник образуют указанные вершины. У нас есть шесть точек: $A$, $D$, $A_1$, $B$, $C$, $B_1$. Это означает, что мы берём из нижнего основания три вершины: $A$, $D$, $B$, $C$ — но это четыре вершины. Правильнее: из нижнего основания берём три вершины $A$, $D$, $B$, $C$ (на самом деле все четыре угла нижнего основания), а из верхнего — только две: $A_1$ и $B_1$.

Плоскость, проходящая через точки $A_1$, $B_1$ и противоположные точки нижнего основания, делит параллелепипед на две равные части. Многогранник с вершинами $A$, $D$, $A_1$, $B$, $C$, $B_1$ представляет собой ровно половину исходного параллелепипеда — это срез, сделанный диагональной плоскостью.

Поэтому объём многогранника равен половине объёма параллелепипеда:

$$V_{\text{многогр}} = \frac{1}{2} \cdot V_{\text{парал}} = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30$$