Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Прямоугольный параллелепипед

Четыре точки A, B, C, B₁ образуют треугольную пирамиду. Основание этой пирамиды — треугольник ABC, а вершина — точка B₁.

Определим основание. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ основание ABCD — прямоугольник. Треугольник ABC имеет прямой угол при вершине B (так как AB ⊥ BC в прямоугольнике). Катеты этого треугольника: AB = 3 и BC = AD = 3.

Площадь основания пирамиды: $$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2}$$

Определим высоту пирамиды. Точка B₁ лежит прямо над точкой B на расстояние BB₁ = AA₁ = 4 (свойство параллелепипеда — противоположные рёбра равны и параллельны). Это расстояние перпендикулярно плоскости ABC, поэтому высота пирамиды h = 4.

Вычислим объём по формуле пирамиды: $$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{2} \cdot 4 = \frac{1}{3} \cdot 18 = 6$$

Альтернативный способ: Объём параллелепипеда $V_{пар} = 3 \cdot 3 \cdot 4 = 36$. Пирамида AB₁BC имеет площадь основания в два раза меньше, чем прямоугольник ABCD, а высота общая. Поэтому $V_{пир} = \frac{1}{6} V_{пар} = \frac{36}{6} = 6$.