Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Прямоугольный параллелепипед

Прямые $CD$ и $A_1C_1$ — скрещивающиеся, поэтому найдём угол между ними через параллельный перенос.

Заметим, что $CD \parallel D_1C_1$ (противоположные рёбра параллелепипеда параллельны). Значит, угол между $CD$ и $A_1C_1$ равен углу между $D_1C_1$ и $A_1C_1$, то есть углу $\angle A_1C_1D_1$ в треугольнике $A_1C_1D_1$.

В прямоугольном параллелепипеде верхнее основание $A_1B_1C_1D_1$ конгруэнтно нижнему, поэтому:

• $D_1C_1 = DC = AB = 8$ (противоположные стороны прямоугольника)
• $A_1D_1 = AD = 6$

Треугольник $A_1C_1D_1$ прямоугольный (угол при $D_1$ прямой), так как основание — прямоугольник. По теореме Пифагора: $$A_1C_1 = \sqrt{(D_1C_1)^2 + (A_1D_1)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$

В прямоугольном треугольнике $A_1C_1D_1$ синус угла $\angle A_1C_1D_1$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: $$\sin(\angle A_1C_1D_1) = \frac{A_1D_1}{A_1C_1} = \frac{6}{10} = 0,6$$