Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Прямоугольный параллелепипед

Шаг 1. Определяем сечение.

Плоскость проходит через точки A, B и C₁. Поскольку сечение пересекает параллельные грани параллелепипеда, оно пересекает их по параллельным отрезкам. Грань ABCD параллельна грани A₁B₁C₁D₁, поэтому линия пересечения плоскости с верхней гранью будет параллельна AB. Эта линия проходит через C₁ и параллельна AB, значит, это отрезок C₁D₁. Таким образом, сечение — четырёхугольник $ABC_1D_1$.

Шаг 2. Доказываем, что это прямоугольник.

Противоположные стороны $AB \parallel D_1C_1$ (обе параллельны AB), и $AD_1 \parallel BC_1$ (лежат в параллельных гранях). Значит, $ABC_1D_1$ — параллелограмм.

Ребро AB перпендикулярно боковым граням $AA_1D_1D$ и $BB_1C_1C$ (так как AB перпендикулярно двум пересекающимся рёбрам этих граней: AD и $AA_1$). Следовательно, AB перпендикулярно любому отрезку в этих гранях, проходящему через A или B. В частности, $AB \perp AD_1$ и $AB \perp BC_1$. Значит, углы при вершинах A и B равны 90°, поэтому параллелограмм — прямоугольник.

Шаг 3. Вычисляем диагональ боковой грани.

Диагональ $AD_1$ лежит в грани $AA_1D_1D$. Используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике $ADD_1$: $$AD_1 = \sqrt{AD^2 + DD_1^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

Шаг 4. Находим площадь прямоугольника.

Площадь прямоугольника $ABC_1D_1$ равна произведению двух смежных сторон: $$S = AB \cdot AD_1 = 3 \cdot 13 = 39$$