Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Прямоугольный параллелепипед

Шаг 1. Определяем вид сечения

Сечение проходит через точки $A_1$, $D_1$ и $K$ (середина $BB_1$). Поскольку параллельные грани параллелепипеда пересекаются плоскостью по параллельным отрезкам, четырехугольник $A_1KK_1D_1$ — параллелограмм.

Шаг 2. Доказываем, что это прямоугольник

Важное свойство: ребро $A_1D_1$ перпендикулярно обеим боковым граням $AA_1B_1B$ и $DD_1C_1C$ (так как оно параллельно ребру $AD$, лежащему в основании, перпендикулярному этим граням). Следовательно:

• $A_1D_1 \perp A_1K$ (отрезок $A_1K$ лежит в грани $AA_1B_1B$)
• $A_1D_1 \perp D_1K_1$ (отрезок $D_1K_1$ лежит в грани $DD_1C_1C$)

Поскольку в параллелограмме есть прямой угол, это прямоугольник.

Шаг 3. Находим $A_1K$ через теорему Пифагора

В треугольнике $A_1B_1K$:

• $A_1B_1 = AB = 2$ (соответствующее ребро основания)
• $B_1K = \frac{BB_1}{2} = \frac{2}{2} = 1$ (так как $K$ — середина)

$$A_1K = \sqrt{(A_1B_1)^2 + (B_1K)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$

Шаг 4. Вычисляем площадь прямоугольника

Сторона $A_1D_1 = AD = \sqrt{5}$ (соответствующее ребро основания).

Площадь сечения: $$S = A_1D_1 \cdot A_1K = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$$