Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Прямоугольный параллелепипед

Нужно найти угол $\angle DBD_1$ в прямоугольном параллелепипеде.

Шаг 1. Найдём диагональ основания BD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$ в основании параллелепипеда. Катеты: $AB = 4$ и $AD = 3$. По теореме Пифагора: $$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

Шаг 2. Проанализируем треугольник $BDD_1$.

Треугольник $BDD_1$ прямоугольный (угол при вершине $D$ прямой, так как $DD_1$ перпендикулярна основанию). Его стороны:

• $BD = 5$ (диагональ основания)
• $DD_1 = AA_1 = 5$ (высота параллелепипеда)
• $BD_1$ — диагональ боковой грани

Шаг 3. Определим тип треугольника.

Поскольку $BD = DD_1 = 5$, треугольник $BDD_1$ равнобедренный с прямым углом при вершине $D$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании равны между собой и каждый равен $45°$.

Угол $\angle DBD_1$ — это угол при вершине $B$, один из углов при основании.

Ответ: 45°