Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Прямоугольный параллелепипед

Нужно найти угол в треугольнике $ABD_1$. Сначала определим, какой это треугольник и найдём все его стороны.

Шаг 1. Найдём диагональ боковой грани $AD_1$.

В прямоугольном параллелепипеде грань $AA_1D_1D$ — прямоугольник. В этом прямоугольнике:

• $AA_1 = 3$ (высота параллелепипеда)
• $A_1D_1 = AD = 4$ (противоположные стороны прямоугольника равны)

Диагональ $AD_1$ найдём по теореме Пифагора: $$AD_1 = \sqrt{AA_1^2 + A_1D_1^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Шаг 2. Определим треугольник $ABD_1$.

В параллелепипеде рёбра $AB$ и $AD$ перпендикулярны, поэтому $AB \perp$ плоскости $AA_1D_1D$. Значит, $AB \perp AD_1$, и треугольник $ABD_1$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $A$.

Шаг 3. Найдём угол $\angle ABD_1$.

В прямоугольном треугольнике $ABD_1$:

• $AB = 5$
• $AD_1 = 5$

Треугольник равнобедренный. В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны: $$\angle ABD_1 = \angle AD_1B = 45°$$