Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Прямоугольный параллелепипед

Шаг 1. Определяем, какую фигуру образует сечение

Сечение проходит через точки $A$, $A_1$ и $C$. Поскольку в параллелепипеде противоположные грани параллельны, сечение пересекает грань $ABCD$ по прямой $AC$, а грань $A_1B_1C_1D_1$ по прямой $A_1C_1$. Эти отрезки параллельны (как пересечения плоскости сечения с параллельными гранями). Кроме того, $AA_1$ и $CC_1$ — вертикальные рёбра параллелепипеда, тоже параллельные и равные. Значит, сечение $AA_1C_1C$ — параллелограмм.

Шаг 2. Доказываем, что это прямоугольник

Ребро $AA_1$ перпендикулярно обеим основаниям параллелепипеда — как нижнему $ABCD$, так и верхнему $A_1B_1C_1D_1$. Следовательно, $AA_1 \perp AC$ (диагональ нижнего основания) и $AA_1 \perp A_1C_1$ (диагональ верхнего основания). Значит, углы $\angle A_1AC$ и $\angle AA_1C_1$ — прямые. Параллелограмм с прямыми углами — это прямоугольник.

Шаг 3. Находим диагональ основания $AC$

В прямоугольном треугольнике $ABC$ применим теорему Пифагора: $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$$

Шаг 4. Вычисляем площадь прямоугольника

Два соседних стороны прямоугольника — это $AA_1 = 22$ и $AC = 26$. Площадь: $$S = AA_1 \cdot AC = 22 \cdot 26 = 572$$