Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Прямоугольный параллелепипед

Обозначим три измерения прямоугольного параллелепипеда как $a$, $b$ и $c$. Нам известны два ребра: $a = 2$ и $b = 4$. Диагональ параллелепипеда равна 6.

Шаг 1. Найдём третье измерение.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда связана с его измерениями формулой: $$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$$

Эта формула следует из того, что диагональ — это гипотенуза прямоугольного треугольника в пространстве.

Подставляем известные значения: $$6^2 = 2^2 + 4^2 + c^2$$ $$36 = 4 + 16 + c^2$$ $$36 = 20 + c^2$$ $$c^2 = 16$$ $$c = 4$$

Шаг 2. Вычислим площадь поверхности.

Прямоугольный параллелепипед имеет 6 граней: три пары противоположных прямоугольников. Площадь каждой пары равна $ab$, $bc$ и $ca$ соответственно.

Общая формула площади поверхности: $$S = 2(ab + bc + ca)$$

Подставляем значения $a = 2$, $b = 4$, $c = 4$: $$S = 2(2 \cdot 4 + 4 \cdot 4 + 4 \cdot 2)$$ $$S = 2(8 + 16 + 8)$$ $$S = 2 \cdot 32$$ $$S = 64$$