Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Прямоугольный параллелепипед

Обозначим объём параллелепипеда $V_{\text{пар}} = 4,5$. Пирамида $AD_1CB_1$ образована четырьмя вершинами параллелепипеда, не лежащими в одной плоскости.

Для нахождения объёма этой пирамиды используем принцип дополнения: весь параллелепипед можно разбить на саму пирамиду $AD_1CB_1$ и четыре дополнительные пирамиды с вершиной в центре параллелепипеда или по-другому — вычислить через вычитание.

Ключевое наблюдение: каждая из четырёх вспомогательных пирамид имеет основание, являющееся треугольной гранью пирамиды $AD_1CB_1$, и апофему (высоту), связанную с расстоянием до противоположного ребра параллелепипеда.

Для каждой такой пирамиды:

• Основание — треугольник с площадью, равной половине площади одной из граней параллелепипеда (диагональное сечение)
• Высота равна половине соответствующего линейного размера

Этот расчёт даёт, что сумма объёмов четырёх дополнительных пирамид составляет $\frac{2}{3}V_{\text{пар}}$.

Тогда объём искомой пирамиды: $$V_{\text{пир}} = V_{\text{пар}} - 4 \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot V_{\text{пар}}\right) = V_{\text{пар}} - \frac{2}{3}V_{\text{пар}} = \frac{1}{3}V_{\text{пар}} = \frac{1}{3} \cdot 4,5 = 1,5$$