Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Прямоугольный параллелепипед

Обозначим три ребра параллелепипеда, выходящие из одной вершины, как $a_1 = 2$, $a_2 = 3$ и $a_3$ (неизвестное).

Шаг 1. Найдём третье ребро через объём.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: $$V = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3$$

Подставим известные значения: $$36 = 2 \cdot 3 \cdot a_3 = 6 \cdot a_3$$

Отсюда третье ребро: $$a_3 = \frac{36}{6} = 6$$

Шаг 2. Найдём диагональ параллелепипеда.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда — это отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие на одной грани. Её длина находится по формуле: $$d = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$$

Эта формула следует из теоремы Пифагора: сначала находим диагональ основания $\sqrt{a_1^2 + a_2^2}$, затем рассматриваем прямоугольный треугольник, где эта диагональ и высота $a_3$ — катеты.

Подставляем найденные значения рёбер: $$d = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$$