Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Прямоугольный параллелепипед

В прямоугольном параллелепипеде вершины $A_1$ и $C$ — противоположные (концы пространственной диагонали): $A_1$ лежит над $A$, а $C$ — вершина нижнего основания, противолежащая $A$.

Шаг 1. Найдём диагональ нижнего основания $ABCD$. Оно прямоугольник со сторонами $AB=5$ и $AD=4$ (BC = AD), поэтому по теореме Пифагора $$AC^2 = AB^2 + AD^2 = 25 + 16 = 41.$$

Шаг 2. Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания, значит треугольник $ACA_1$ прямоугольный с прямым углом при $A$: $$A_1C^2 = AC^2 + AA_1^2 = 41 + 9 = 50.$$

То есть квадрат расстояния равен сумме квадратов трёх измерений: $$A_1C^2 = 5^2 + 4^2 + 3^2 = 50.$$