Задача 27103. Прямоугольный параллелепипед

Обозначим параллелепипед $ABCDA'B'C'D'$, где квадратная грань — это $ABCD$ со стороной $a$. Диагональ параллелепипеда (например, $AC'$) равна $\sqrt{8}$.

Шаг 1: найдём высоту параллелепипеда.

Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью квадратной грани угол 45°. Это значит, что если опустить перпендикуляр из конца диагонали на плоскость грани, получится прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенуза — диагональ параллелепипеда, один катет — диагональ квадратной грани, второй катет — высота параллелепипеда $h$.

По определению угла между прямой и плоскостью: $$\sin 45° = \frac{h}{\sqrt{8}}$$ $$h = \sqrt{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{16}}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Шаг 2: найдём диагональ квадратной грани.

Диагональ квадрата при проекции на его плоскость образует с высотой и диагональю параллелепипеда прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: $$d^2 + h^2 = (\sqrt{8})^2$$ $$d^2 + 4 = 8$$ $$d^2 = 4 \Rightarrow d = 2$$

Шаг 3: найдём сторону квадрата.

Для квадрата со стороной $a$ диагональ равна $a\sqrt{2}$: $$a\sqrt{2} = 2$$ $$a = \sqrt{2}$$

Шаг 4: вычислим объём.

Площадь квадратной грани: $S = a^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

Объём: $V = S \cdot h = 2 \cdot 2 = 4$