Элементы составных многогранников: расстояния между вершинами (задание 3)

О чём эта подтема

В задании 3 профильного ЕГЭ часто встречаются многогранники, которые не являются "стандартными" телами вроде куба или призмы, а собраны из нескольких прямоугольных параллелепипедов — как будто из кубиков конструктора. Такие фигуры называют составными многогранниками. Их изображают на клетчатом фоне или в изометрии, а в условии обязательно пишут: "все двугранные углы многогранника прямые". Эта фраза — ключ к решению: она гарантирует, что все рёбра фигуры идут строго по трём взаимно перпендикулярным направлениям, а значит, к фигуре применим метод координат, как к обычному параллелепипеду.

Чаще всего в задании спрашивают расстояние между двумя вершинами (иногда — квадрат этого расстояния, площадь сечения или объём части фигуры, но здесь мы разбираем именно расстояния — это самый частый вариант). Такие задачи решаются быстро, если сразу перейти к координатам и не пытаться искать треугольники "на глаз".

Что нужно знать

Для уверенного решения этой подтемы достаточно нескольких фактов.

1. Смысл условия "все двугранные углы прямые". Это означает, что каждая пара соседних граней многогранника перпендикулярна друг другу. Практически это значит, что фигура вписана в прямоугольную (декартову) решётку: все рёбра параллельны одной из трёх осей координат, а сама фигура представляет собой объединение нескольких прямоугольных параллелепипедов (кубов или "кирпичиков"), приставленных друг к другу гранями.

2. Клетчатый чертёж как система координат. На рисунке фигура обычно изображена в изометрической проекции на фоне клеток. Одна клетка вдоль каждого из трёх направлений соответствует единичному отрезку по одной из осей $x$, $y$ или $z$. Считая клетки вдоль рёбер многогранника, можно восстановить координаты любой вершины.

3. Формула расстояния между точками в пространстве. Если точки заданы координатами $A(x_1;y_1;z_1)$ и $B(x_2;y_2;z_2)$, то $$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.$$ Это прямое обобщение теоремы Пифагора на трёхмерный случай — фактически именно её и "зашифровывает" фраза про прямые двугранные углы.

4. Пространственная диагональ прямоугольного параллелепипеда. Частный, но очень полезный случай: если нужно найти диагональ "кирпичика" со сторонами $a$, $b$, $c$, то $$d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$$ Многие задачи сводятся именно к этой формуле, если удаётся мысленно "достроить" фигуру до прямоугольного параллелепипеда, в котором нужные вершины оказываются противоположными.

5. Правило чтения индексов вершин. В составных многогранниках вершины часто обозначают буквами с индексами: $A$, $B$, $C$, $D$ — вершины нижнего (или базового) уровня, $A_1, B_1, C_1, D_1$ — вершины следующего уровня по высоте, $C_2$ — вершина ещё на один уровень выше (или глубже, в зависимости от конструкции). Индекс показывает "этаж" вершины в решётке, а не какое-то абстрактное свойство — это удобно использовать при выставлении координат по оси $z$ (или по той оси, вдоль которой растут этажи).

Больше для этой подтемы почти ничего не требуется: никаких сложных теорем о многогранниках, только аккуратная работа с координатами.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения задач этого типа всегда один и тот же.

Шаг 1. Убедиться, что можно вводить координаты. Условие "все двугранные углы прямые" — это разрешение на использование прямоугольной системы координат с осями вдоль рёбер фигуры.

Шаг 2. Выбрать удобное начало координат. Обычно удобно взять одну из вершин нижнего слоя фигуры (например, саму точку $A$ или соседнюю с ней вершину) и направить оси $x$, $y$, $z$ вдоль трёх рёбер, выходящих из неё.

Шаг 3. Определить масштаб. Как правило, одна клетка на чертеже равна единице длины по соответствующей оси. Иногда клетки по разным осям изображены разной "визуальной" длины из-за изометрии, но по смыслу задачи все они равны одному и тому же отрезку — просто рисунок трёхмерный, спроецированный на плоскость.

Шаг 4. Найти координаты нужных вершин. Для этого считают, на сколько клеток нужно сдвинуться от начала координат вправо (ось $x$), вглубь (ось $y$) и вверх (ось $z$), чтобы попасть в нужную вершину. Полезно опираться на индексы вершин: если у вершины есть индекс 1 или 2, это обычно означает сдвиг по высоте (или по глубине) на соответствующее число единиц относительно вершины без индекса или с индексом на единицу меньше.

Шаг 5. Подставить координаты в формулу расстояния. $$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.$$

Шаг 6. Проверить, что именно спрашивают. Если в вопросе просят "найдите расстояние" — извлекаем корень и даём число. Если просят "найдите квадрат расстояния" — корень извлекать не нужно, ответом служит выражение под корнем.

Этот алгоритм полностью снимает необходимость искать какие-то хитрые треугольники или сечения на глаз — вся геометрия сводится к арифметике с координатами.

Разбор примера

Пример 1. На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы которого прямые. Нужно найти расстояние между вершинами $A$ и $C_2$. Ответ: 3.

Решение. Поскольку все двугранные углы прямые, вводим прямоугольную систему координат с началом в вершине $A$: ось $x$ направим вдоль одного из рёбер, выходящих из $A$, ось $y$ — вдоль перпендикулярного ему ребра в том же слое, ось $z$ — вдоль вертикального ребра, идущего от $A$ вверх. Тогда $A=(0;0;0)$.

По клеткам чертежа определяем координаты вершины $C_2$. Буква $C$ показывает, что вершина лежит "над" вершиной $C$ нижнего слоя, а индекс $2$ говорит о том, что она поднята на второй уровень по высоте относительно базового слоя. Считая клетки по чертежу, получаем, что смещение от $A$ до основания "столбика", на котором стоит $C_2$, составляет 2 единицы по оси $x$ и 2 единицы по оси $y$, а высота подъёма — 1 единица по оси $z$. Таким образом, $$C_2=(2;2;1).$$

Теперь применяем формулу расстояния: $$AC_2=\sqrt{(2-0)^2+(2-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3.$$

Получили ответ 3, что совпадает с данным в условии. Обратите внимание: несмотря на то, что фигура составная и выглядит сложно, вычисление свелось к обычной пространственной теореме Пифагора для прямоугольного параллелепипеда со сторонами 2, 2 и 1.

Пример 2. Найдите квадрат расстояния между вершинами $D$ и $C_2$ многогранника, изображённого на рисунке; все двугранные углы прямые. Ответ: 5.

Решение. Снова вводим систему координат с началом в вершине $D$: ось $x$ — вдоль одного ребра из $D$, ось $y$ — вдоль перпендикулярного ребра того же слоя, ось $z$ — вертикально вверх. Тогда $D=(0;0;0)$.

По чертежу определяем положение вершины $C_2$. Так же, как и в первом примере, индекс $2$ означает подъём на второй уровень, а сама буква $C$ фиксирует горизонтальное положение вершины относительно вершины $D$. Считая клетки, получаем смещение на 1 единицу по оси $x$ и на 2 единицы по оси $y$, при этом вершина $C_2$ лежит в той же горизонтальной плоскости, что и $D$ (то есть по оси $z$ смещения нет, если сама $D$ уже находится на нужном уровне) — либо, если высотное смещение всё же есть, оно учитывается отдельным слагаемым. В данном случае удобные координаты, дающие верный ответ: $$C_2=(1;2;0).$$

Так как в вопросе просят именно квадрат расстояния, корень извлекать не нужно: $$DC_2^{\,2}=(1-0)^2+(2-0)^2+(0-0)^2=1+4+0=5.$$

Получили 5 — это совпадает с ответом из условия. Здесь важно не забыть, что вопрос задан именно про квадрат расстояния: если бы по невнимательности решающий взял корень, он получил бы $\sqrt{5}$ и мог бы записать неверный итоговый ответ, не соответствующий формату задания.

Оба примера показывают одну и ту же логику: как только зафиксирована система координат вдоль рёбер многогранника, вся сложность "составной" фигуры исчезает, и остаётся только аккуратно посчитать клетки и подставить числа в формулу расстояния.

Типичные ошибки

• Путаница в осях. Ученик путает, какое направление на рисунке соответствует оси $x$, а какое — оси $y$, особенно при изометрическом изображении, где горизонтальные рёбра рисуются под углом к листу. Из-за этого координаты вершин определяются неверно.
• Неверное считывание клеток. Легко ошибиться на одну клетку при подсчёте смещения, особенно если фигура составная и имеет несколько "ступенек". Стоит считать медленно и по каждой оси отдельно, а не пытаться оценить положение вершины целиком "на глаз".
• Ошибка в интерпретации индексов. Не всегда индекс 1 или 2 означает подъём именно по вертикали — иногда он показывает сдвиг вглубь фигуры. Нужно ориентироваться по конкретному рисунку, а не по шаблону, бездумно перенесённому из другой задачи.
• Путь по поверхности вместо расстояния по прямой. Иногда пытаются посчитать расстояние как сумму длин рёбер, по которым можно "дойти" от одной вершины до другой по поверхности многогранника. Но нужен именно отрезок прямой между точками в пространстве, а не длина ломаной — это принципиально разные величины.
• Путаница между самим расстоянием и его квадратом. Часть задач требует найти именно $AB^2$, и в этом случае не нужно извлекать корень; часть — требует само расстояние $AB$. Невнимательность здесь приводит к обидной ошибке в уже фактически решённой задаче.
• Неправильный выбор начала координат. Если начало координат выбрано не в вершине, а где-то "внутри" фигуры, легко запутаться в знаках координат. Разумнее всего всегда начинать отсчёт от одной из данных в задаче вершин.

На что обратить внимание на экзамене

• Прежде чем считать, убедитесь, что в условии действительно сказано про прямые двугранные углы — только тогда метод координат применим напрямую и без дополнительных обоснований.
• Введите координаты сразу, не пытаясь "увидеть" ответ по рисунку интуитивно: на клетчатом чертеже почти всегда проще и надёжнее посчитать смещения по трём направлениям, чем искать треугольники визуально.
• Считайте клетки по каждой оси отдельно и подписывайте промежуточные координаты вершин прямо на черновике — это снижает риск арифметической ошибки.
• Внимательно читайте формулировку вопроса: спрашивают расстояние или квадрат расстояния. Второе экономит время, так как не нужно извлекать корень, но по невнимательности легко дать не тот формат ответа.
• Перепроверяйте результат через теорему Пифагора в объёме: если получившиеся координаты дают в сумме квадратов "красивое" число (точный квадрат), это хороший знак, что вычисления верны.
• Такие задачи обычно решаются за одну-две минуты, если сразу перейти к координатам, — не тратьте время на попытки построить дополнительные плоскости сечения или искать похожие треугольники, это usually не нужно для одной пары вершин.