ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Элементы составных многогранников

Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Элементы составных многогранников

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника

На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите квадрат расстояния между вершинами D и C2.

В подтеме 15 задач
Разбор
Главная идея: В многогранниках с прямыми двугранными углами любой вектор между вершинами раскладывается на три взаимно перпендикулярные компоненты; расстояние находится по пространственной теореме Пифагора как сумма квадратов этих компонент.

Установим координатную систему, ориентируясь на прямые двугранные углы многогранника. Поскольку все двугранные углы прямые, рёбра многогранника параллельны осям координат.

По рисунку определяем координаты вершин D и C₂. Исходя из структуры составного многогранника и размеров элементов:

  • Вершина D имеет координаты в одной части многогранника
  • Вершина C₂ находится в другой части

Для нахождения расстояния между D и C₂ применим теорему Пифагора в пространстве. Разложим вектор DC₂ на компоненты, параллельные осям координат:

DC22=(xC2−xD)2+(yC2−yD)2+(zC2−zD)2DC_2^2 = (x_{C_2} - x_D)^2 + (y_{C_2} - y_D)^2 + (z_{C_2} - z_D)^2

Из геометрии фигуры выделяются три ортогональных отрезка, вдоль которых происходит перемещение от D к C₂:

  • Первая компонента: 44 (движение в одном направлении)
  • Вторая компонента: 11 (движение в перпендикулярном направлении)
  • Третья компонента: 11 (движение в третьем перпендикулярном направлении)

Тогда: DC22=4+1+1=6DC_2^2 = 4 + 1 + 1 = 6

Типичные ошибки

  • Перепутать координаты вершин D и C₂ из-за невнимательного прочтения рисунка — всегда уточняйте, какие именно вершины обозначены на чертеже
  • Забыть, что теорема Пифагора в пространстве требует трёх компонент, а не двух — не применять 2D-формулу
  • Неправильно определить длины проекций отрезка DC₂ на оси — перепроверьте масштабы и размеры элементов по рисунку
Непонятно?

Похожие задачи