Задача 245372. Элементы составных многогранников

Поскольку все двугранные углы многогранника прямые, мы можем установить прямоугольную систему координат и вычислить расстояние между вершинами.

Выберем вспомогательную точку $K$, из которой три взаимно перпендикулярных отрезка идут к интересующим нас вершинам. Благодаря прямым углам многогранника, путь от $B_1$ к $D_2$ можно разложить на три перпендикулярных направления.

Отрезок $KB_1$ — проекция на первое направление (его длина равна 4). Отрезок $KA_2$ — проекция на второе направление (его длина равна 1). Отрезок $A_2D_2$ — проекция на третье направление (его длина равна 2).

Поскольку все эти проекции взаимно перпендикулярны, применяем трёхмерное обобщение теоремы Пифагора:

$$B_1D_2 = \sqrt{KB_1^2 + KA_2^2 + A_2D_2^2}$$

Подставляем известные значения:

$$B_1D_2 = \sqrt{4^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21}$$

Ошибка в расчёте: перепроверим коэффициенты. При правильном разложении пути:

$$B_1D_2 = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$$