ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Элементы составных многогранников

Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Элементы составных многогранников

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.5.2 Угол между прямыми в пространстве; угол между прямой и плоскостью

Найдите угол CAD2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

В подтеме 15 задач
Разбор
Главная идея: Треугольник CAD₂ образован диагоналями одинаковых квадратных граней, поэтому все его стороны равны, и он равносторонний.

Сначала разберёмся со строением многогранника. На нём отмечены три точки: C, A и D₂. Все двугранные углы прямые, что значит, что многогранник составлен из единичных кубиков, расположенных параллельно осям координат.

Чтобы найти угол CAD₂, нужно вычислить стороны треугольника CAD₂.

Отрезки AC, CD₂ и AD₂ — это диагонали граней многогранника. Так как грани являются квадратами с одинаковыми сторонами (рёбра кубиков равны), диагонали этих квадратов тоже равны друг другу.

Пусть ребро равно 1. Тогда диагональ каждого квадрата имеет длину 12+12=2\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.

Получается:

  • AC=2AC = \sqrt{2}
  • CD2=2CD_2 = \sqrt{2}
  • AD2=2AD_2 = \sqrt{2}

Все три стороны треугольника CAD₂ равны, поэтому это равносторонний треугольник. В равностороннем треугольнике все углы одинаковые и равны 180°3=60°\frac{180°}{3} = 60°.

Ответ: угол CAD₂ = 60°.

Типичные ошибки

  • Путаница между рёбрами многогранника и диагоналями граней — нужно понять, что AC, CD₂, AD₂ это именно диагонали, а не рёбра
  • Неправильный расчёт длины диагонали квадрата (например, забыть корень или ошибиться в формуле)
  • Забыть, что в равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а не только какой-то из них
Непонятно?

Похожие задачи