Задача 245374. Элементы составных многогранников

Разберёмся с геометрией этого многогранника.

В основании многогранника лежит квадрат ABCD. Поскольку все двугранные углы прямые, рёбра перпендикулярны друг другу, что гарантирует прямоугольность углов во всех сечениях.

Определим размеры квадрата ABCD. По условию и структуре многогранника (видно из рисунка) сторона квадрата составляет 2 единицы: $AB = BC = CD = DA = 2$.

Диагональ BD соединяет противоположные вершины этого квадрата. Вычислим её длину по теореме Пифагора: $$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

Теперь рассмотрим треугольник ABD:

• сторона $AB = 2$
• сторона $AD = 2$
• сторона $BD = 2\sqrt{2}$
• угол BAD = 90° (это угол квадрата)

Треугольник ABD прямоугольный (прямой угол при вершине A) и при этом равнобедренный (так как $AB = AD$).

В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны и дополняют друг друга до 180°: $$\angle ABD + \angle ADB = 90°$$

Поскольку треугольник равнобедренный: $$\angle ABD = \angle ADB = 45°$$

Это же можно проверить через тангенс: $\tan(\angle ABD) = \frac{AD}{AB} = \frac{2}{2} = 1$, откуда $\angle ABD = 45°$.