ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Элементы составных многогранников

Задача 245380. Элементы составных многогранников

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.5.2 Угол между прямыми в пространстве; угол между прямой и плоскостью

На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите тангенс угла ABB3.

В подтеме 15 задач
Разбор
Главная идея: Чтобы найти угол в пространстве, нужно построить вспомогательный прямоугольный треугольник, опустив перпендикуляр из одной вершины на сторону, и тогда искомый угол станет углом плоского треугольника, для которого можно применить стандартные тригонометрические соотношения.

Чтобы найти угол ABB₃, нужно найти тангенс этого угла. Угол ABB₃ — это угол между отрезком BB₃ и линией AB в трёхмерном пространстве.

Шаг 1. Опустим перпендикуляр B₃K из точки B₃ на прямую AB (или на прямую, содержащую AB). Так как все двугранные углы многогранника прямые, B₃K будет перпендикулярен AB.

Шаг 2. В результате образуется прямоугольный треугольник B₃KB с прямым углом при K. Угол ABB₃ в этом треугольнике находится при вершине B.

Шаг 3. По определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике: tan⁡(∠ABB3)=противолежащий катетприлежащий катет=B3KKB\tan(\angle ABB_3) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{B_3K}{KB}

Шаг 4. Из анализа многогранника (на основе его структуры и взаимного расположения вертикальных отрезков):

  • длина B₃K равна сумме высот CC₁ и C₂C₃
  • длина KB равна C₁C₂

Шаг 5. Подставляя в формулу тангенса: tan⁡(∠ABB3)=CC1+C2C3C1C2=2\tan(\angle ABB_3) = \frac{CC_1 + C_2C_3}{C_1C_2} = 2

Типичные ошибки

  • Забывают, что при наличии перпендикуляра образуется именно прямоугольный треугольник, и пытаются искать угол напрямую в трёхмерной конфигурации
  • Неправильно идентифицируют, какой катет противолежащий, а какой прилежащий относительно нужного угла
  • Ошибочно складывают или вычитают отрезки многогранника, не разобравшись в его структуре и взаимном расположении элементов

Ещё задачи этой подтемы