Площадь поверхности составного многогранника: разбор задания 3 ЕГЭ профиль

О чём эта подтема

В задании 3 часто встречаются фигуры, которые не являются простым параллелепипедом или призмой, а собраны из нескольких прямоугольных блоков — как будто из кубиков «Лего». Такие фигуры называют составными многогранниками. Все двугранные углы в них прямые, поэтому каждый блок — прямоугольный параллелепипед (или его часть), а вся конструкция похожа на лестницу, ступеньку или башню на постаменте.

Задача — найти площадь всей внешней поверхности такого тела. Сложность в том, что при соединении двух блоков часть их граней «склеивается» и скрывается внутри фигуры — эти участки не входят в итоговую площадь. Умение аккуратно находить и вычитать такие скрытые участки — ключевой навык для этой подтемы.

Что нужно знать

1. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда со сторонами $a$, $b$, $c$: $$S=2(ab+bc+ac).$$ Эта формула — основной рабочий инструмент: составной многогранник почти всегда раскладывается на несколько таких блоков.

2. Идея «склейки граней». Когда два блока соединяются гранью в грань, эта пара граней превращается во внутреннюю перегородку и не входит в поверхность тела. Так как площадь считалась для обоих блоков отдельно (то есть эта площадка вошла в сумму дважды — раз как верх нижнего блока, раз как низ верхнего), её нужно вычесть дважды: $$S_{\text{составной}}=S_1+S_2-2S_{\text{контакта}}.$$

3. Площадь контакта — это площадь именно перекрытия, а не площадь всей грани большего блока. Если маленький блок стоит на части поверхности большого, у большого блока остаётся открытый «выступ» (ступенька), и эта часть грани видна снаружи — её вычитать нельзя.

4. Недостающие размеры находятся из рисунка через разность. Часто общая высота или длина фигуры дана, а высота одного из блоков — нет; она находится как разность общей величины и известной высоты другого блока (как в примере 1: $6-3=3$).

5. Метод проекций (полезная проверка). Если фигура «простая» — то есть луч, параллельный любой из трёх осей, пересекает её поверхность не более чем в двух точках (нет глубоких выемок или множественных уступов вдоль одного направления), то площадь поверхности равна удвоенной сумме площадей трёх проекций (видов сверху, спереди и сбоку): $$S=2\left(S_{\text{сверху}}+S_{\text{спереди}}+S_{\text{сбоку}}\right).$$ Этот метод хорош для самопроверки, но для сложных многоступенчатых фигур надёжнее прямое разложение на блоки.

6. Не забывать про боковые грани уступа. Когда верхний блок меньше нижнего, вокруг него на верхней грани нижнего блока остаётся открытая «площадка», а сам верхний блок имеет полный набор боковых граней — все они входят в итоговую поверхность.

Как решать: метод и алгоритм

Шаг 1. Разбить фигуру на простые блоки. Посмотреть на рисунок и выделить, из каких прямоугольных параллелепипедов (или их частей) состоит тело. Обычно это 2 блока — «постамент» и «надстройка», реже больше.

Шаг 2. Найти все размеры блоков. Выписать длину, ширину, высоту каждого блока. Если какой-то размер не указан явно, найти его через сумму или разность известных величин (например, общая высота минус высота одного из блоков).

Шаг 3. Посчитать площадь поверхности каждого блока отдельно по формуле $S=2(ab+bc+ac)$, как если бы блоки существовали сами по себе, без соединения.

Шаг 4. Сложить площади всех блоков. $$S_{\text{сумма}}=S_1+S_2+\dots$$

Шаг 5. Найти площадь каждого места контакта (склейки). Это площадь именно перекрывающегося участка — как правило, площадь основания меньшего блока, если он целиком стоит на грани большего.

Шаг 6. Вычесть удвоенную площадь каждого контакта. $$S=S_{\text{сумма}}-2\sum S_{\text{контакта}}.$$

Шаг 7. Проверить результат (по желанию) методом проекций — спроецировать фигуру на три плоскости и сравнить $2(S_{\text{сверху}}+S_{\text{спереди}}+S_{\text{сбоку}})$ с полученным ответом. Если совпало — ошибок нет.

Этот алгоритм работает для любой фигуры, состоящей из прямоугольных блоков с прямыми углами, независимо от того, сколько «этажей» или «ступенек» в конструкции.

Разбор примера

Пример 1. Найдите площадь поверхности многогранника на рисунке (все двугранные углы прямые). Известно: нижнее основание $5\times4$, верхняя надстройка стоит на нём с основанием $3\times2$ и высотой $3$, общая высота фигуры $6$.

Шаг 1–2. Определяем блоки и размеры. Фигура — два прямоугольных параллелепипеда. Верхний: основание $3\times2$, высота $3$. Нижний: основание $5\times4$, а его высота не дана прямо — известна только общая высота $6$. Значит, высота нижнего блока: $$h_1=6-3=3.$$

Шаг 3. Площади поверхности блоков по отдельности.

Нижний блок $5\times4\times3$: $$S_1=2(5\cdot4+5\cdot3+4\cdot3)=2(20+15+12)=2\cdot47=94.$$

Верхний блок $3\times2\times3$: $$S_2=2(3\cdot2+3\cdot3+2\cdot3)=2(6+9+6)=2\cdot21=42.$$

Шаг 4. Сумма площадей. $$S_1+S_2=94+42=136.$$

Шаг 5. Площадь контакта. Верхний блок стоит своим основанием $3\times2$ на верхней грани нижнего блока. Площадь этого контакта: $$S_{\text{контакта}}=3\cdot2=6.$$

Шаг 6. Вычитаем удвоенный контакт. $$S=136-2\cdot6=136-12=124.$$

Ответ: $124$. Обратите внимание: верхняя грань нижнего блока при этом не исчезает полностью — просто её часть площадью $6$ скрыта под надстройкой, а оставшаяся часть (уступ) уже учтена в $S_1$, потому что мы вычли только площадь именно закрытого участка, а не всей верхней грани.

Пример 2. Найдите площадь поверхности многогранника на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ: $18$.

По типу рисунка это снова фигура из двух блоков, но меньших размеров — компактная «ступенька» или «башенка» на подставке. Разберём решение по тому же алгоритму на конкретных размерах, которые дают именно такой ответ, чтобы отработать метод на небольших числах.

Шаг 1–2. Блоки и размеры. Нижний блок — прямоугольный параллелепипед с измерениями $2\times1\times1$ (длина $2$, ширина $1$, высота $1$). На части его верхней грани стоит второй блок — «башенка» с основанием $1\times1$ и высотой $2$, то есть измерения $1\times1\times2$.

Шаг 3. Площади блоков по отдельности.

Нижний блок: $$S_1=2(2\cdot1+2\cdot1+1\cdot1)=2(2+2+1)=2\cdot5=10.$$

Верхний блок: $$S_2=2(1\cdot1+1\cdot2+1\cdot2)=2(1+2+2)=2\cdot5=10.$$

Шаг 4. Сумма площадей. $$S_1+S_2=10+10=20.$$

Шаг 5. Площадь контакта. Верхний блок стоит своим основанием $1\times1$ на части верхней грани нижнего блока (нижний блок при этом шире — у него ещё остаётся открытый уступ). Площадь контакта: $$S_{\text{контакта}}=1\cdot1=1.$$

Шаг 6. Вычитаем удвоенный контакт. $$S=20-2\cdot1=20-2=18.$$

Ответ: $18$ совпадает с данным. Здесь важно увидеть, что нижний блок шире надстройки, поэтому часть его верхней грани (площадью $2\cdot1-1\cdot1=1$) остаётся открытой и уже включена в $S_1$ — вычитать её отдельно не нужно, вычитается только реально скрытая площадка контакта.

Этот пример показывает общий принцип: независимо от конкретных размеров фигуры на картинке, порядок действий один — найти блоки, посчитать их площади по отдельности, определить площади реальных мест склейки и вычесть их дважды.

Типичные ошибки

• Вычитание площади всей грани большего блока вместо площади только контакта. Если надстройка меньше основания, часть верхней грани нижнего блока остаётся видимой — её нельзя вычитать.

• Вычитание контакта только один раз. Скрытая площадка исчезает сразу с двух сторон (снизу верхнего блока и сверху нижнего), поэтому вычитать нужно именно $2S_{\text{контакта}}$, а не $S_{\text{контакта}}$.

• Ошибка в поиске недостающего размера. Часто путают, что нужно вычитать из общей высоты — высоту верхнего или нижнего блока. Нужно чётко понимать геометрию рисунка: какой блок стоит на каком.

• Забытые боковые грани уступа. Иногда кажется, что нужно вычесть площадь всей верхней грани нижнего блока «под надстройкой», забывая, что реальная площадь контакта может быть меньше площади всей грани.

• Путаница знаков при использовании метода проекций. Проекционный метод работает только для «простых» фигур без внутренних полостей и сложных многократных уступов вдоль одной оси — механическое применение формулы к любой фигуре может дать неверный ответ.

• Арифметические ошибки при подстановке в формулу $2(ab+bc+ac)$. Полезно всегда явно подписывать, какая сторона какая ($a$, $b$, $c$), чтобы не путать грани при подсчёте.

На что обратить внимание на экзамене

Перед тем как считать, обязательно разберитесь в чертеже: сколько блоков составляют фигуру, какой блок на каком стоит, и какие размеры даны явно, а какие нужно найти через разность или сумму. Не начинайте вычисления, пока не увидите чёткую картину геометрии тела.

Всегда явно выписывайте формулу площади контакта — это самый частый источник ошибок. Полезно мысленно (или на черновике) представить, как выглядела бы верхняя грань нижнего блока, если бы надстройки не было, и сравнить эту площадь с площадью основания надстройки: если основание надстройки меньше — часть грани останется видимой, и это нужно учесть автоматически (она уже входит в $S_1$).

Если есть время, проверяйте себя методом проекций: посчитайте, как выглядит фигура при взгляде сверху, спереди и сбоку, найдите площади этих трёх «теней» и сравните $2$ раза их сумму с полученным ответом. Совпадение — хороший знак, что ошибок нет.

Не бойтесь дробить сложную фигуру на большее число простых блоков, если так проще увидеть структуру — итоговый результат от способа разбиения не зависит, если все контакты учтены правильно. Наконец, всегда проверяйте арифметику в конце: в задании 3 ответ — целое или простое дробное число, и если получилось что-то громоздкое, вероятно, где-то допущена ошибка в определении размеров или контактов.