Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Площадь поверхности составного многогранника

Многогранник состоит из трёх прямоугольных параллелепипедов, поэтому его поверхность можно найти как сумму площадей трёх отдельных параллелепипедов, но с коррекцией на пересечения.

Шаг 1. Находим площадь поверхности каждого параллелепипеда.

Для параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$, $c$ площадь поверхности: $S = 2(ab + bc + ac)$

• Первый параллелепипед ($2 \times 5 \times 6$): $S_1 = 2(2 \cdot 5 + 5 \cdot 6 + 2 \cdot 6) = 2(10 + 30 + 12) = 2 \cdot 52 = 104$

• Второй параллелепипед ($2 \times 5 \times 3$): $S_2 = 2(2 \cdot 5 + 5 \cdot 3 + 2 \cdot 3) = 2(10 + 15 + 6) = 2 \cdot 31 = 62$

• Третий параллелепипед ($2 \times 2 \times 3$): $S_3 = 2(2 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 2) = 2(4 + 6 + 6) = 2 \cdot 16 = 32$

Шаг 2. Вычитаем площади пересечения.

Когда параллелепипеды соединяются, некоторые грани становятся внутренними и не входят в поверхность итогового многогранника. Нужно вычесть удвоенные площади этих скрытых прямоугольников:

• Первое пересечение ($5 \times 3$): $2 \cdot 5 \cdot 3 = 30$
• Второе пересечение ($2 \times 3$): $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$

Вместе: $30 + 12 = 42$

Шаг 3. Находим итоговую площадь.

$$S = 104 + 62 + 32 - 42 = 198 - 42 = 156$$