Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Площадь поверхности составного многогранника

Многогранник можно представить как прямоугольный параллелепипед с размерами 2 × 3 × 1, из которого вырезана некоторая часть.

Шаг 1. Вычислим площадь поверхности полного параллелепипеда с рёбрами $a = 2$, $b = 3$, $c = 1$: $$S_{\text{полн}} = 2(ab + ac + bc) = 2(2 \cdot 3 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1) = 2(6 + 2 + 3) = 22$$

Шаг 2. На рисунке видно, что из параллелепипеда удалена прямоугольная часть. При такой вырезке появляются две новые грани (внутренние стенки выемки), а две старые грани частично исчезают.

Шаг 3. Вырезанная часть образует полость с двумя прямоугольными гранями размером 2 × 1 каждая (это видно из геометрии фигуры). Каждая из этих граней имеет площадь: $$S_{\text{внутр}} = 2 \cdot 1 = 2$$

Шаг 4. Эти две грани добавляют площадь поверхности (они становятся видимыми), но при этом удаляются два прямоугольника размером 2 × 1 с внешней поверхности исходного параллелепипеда. Суммарное изменение площади: $$\Delta S = 2 \cdot (2 \cdot 1) - 2 \cdot (2 \cdot 1) = 0 - 4 = -4$$

Шаг 5. Итоговая площадь поверхности: $$S = 22 - 4 = 18$$