Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Площадь поверхности составного многогранника

Многогранник состоит из прямоугольного параллелепипеда с размерами 3 × 3 × 5, из которого вырезаны два кубических угла размером 1 × 1 × 1.

Шаг 1. Вычислим площадь полной поверхности исходного параллелепипеда.

Параллелепипед имеет три пары граней:

• две грани 3 × 3 (основания);
• две грани 3 × 5;
• две грани 3 × 5.

Полная площадь поверхности: $$S_{\text{пар}} = 2 \cdot 3 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 5 + 2 \cdot 3 \cdot 5 = 18 + 30 + 30 = 78$$

Шаг 2. Учтём вырезанные углы.

Когда вырезаем кубик 1 × 1 × 1 из угла, мы удаляем часть внешней поверхности и одновременно добавляем три внутренние грани (которые остаются видимыми). Однако в данной конфигурации вырезанные части находятся у рёбер так, что каждый вырез убирает площадь 1 × 1 = 1 с наружной поверхности.

Всего вырезано два угла, каждый убирает две квадратные грани 1 × 1 (на двух смежных сторонах параллелепипеда): $$\Delta S = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$$

Шаг 3. Найдём площадь поверхности многогранника: $$S = 78 - 2 = 76$$