Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Площадь поверхности составного многогранника

Многогранник состоит из двух прямоугольных параллелепипедов: большого с размерами 5 × 7 × 1 и маленького с размерами 1 × 2 × 1.

Шаг 1. Площадь поверхности большого параллелепипеда

Для параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$, $c$ формула: $S = 2(ab + bc + ac)$.

Для большого: $S_1 = 2(5 \cdot 1 + 7 \cdot 1 + 7 \cdot 5) = 2(5 + 7 + 35) = 2 \cdot 47 = 94$.

Шаг 2. Площадь поверхности маленького параллелепипеда

Для маленького: $S_2 = 2(1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1) = 2(1 + 2 + 2) = 2 \cdot 5 = 10$.

Шаг 3. Учёт перекрытия

Когда маленький параллелепипед присоединяется к большому, часть его передней грани закрывается. Эта грань имеет размеры 2 × 1. При суммировании $S_1 + S_2$ эта площадь учитывается дважды (как внешняя сторона маленького и как отсутствующая часть большого), поэтому нужно вычесть её 4 раза: дважды с каждой стороны контакта.

Площадь одной такой прямоугольной области: $2 \cdot 1 = 2$.

Шаг 4. Итоговая площадь

$$S = S_1 + S_2 - 4 \cdot 2 = 94 + 10 - 8 = 96$$