Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Площадь поверхности составного многогранника

Многогранник составлен из двух прямоугольных параллелепипедов, которые пересекаются.

Шаг 1. Найдём площадь поверхности первого параллелепипеда с рёбрами 1, 6 и 4.

Площадь боковой поверхности параллелепипеда вычисляется по формуле: $S_1 = 2(ab + bc + ac)$, где $a = 1$, $b = 6$, $c = 4$.

$$S_1 = 2(1 \cdot 6 + 6 \cdot 4 + 1 \cdot 4) = 2(6 + 24 + 4) = 2 \cdot 34 = 68$$

Шаг 2. Найдём площадь поверхности второго параллелепипеда с рёбрами 1, 4 и 4.

$$S_2 = 2(1 \cdot 4 + 4 \cdot 4 + 1 \cdot 4) = 2(4 + 16 + 4) = 2 \cdot 24 = 48$$

Шаг 3. Когда два параллелепипеда соединяются, часть их поверхностей оказывается внутри и не входит в площадь поверхности составного многогранника. Эта часть — квадрат со стороной 4, который является общей гранью для обоих параллелепипедов.

Площадь этого квадрата: $S_{пер} = 4 \cdot 4 = 16$

Поскольку эта грань скрывает поверхность обоих параллелепипедов, нужно вычесть её площадь дважды.

Шаг 4. Итоговая площадь поверхности:

$$S = S_1 + S_2 - 2 \cdot S_{пер} = 68 + 48 - 2 \cdot 16 = 116 - 32 = 84$$