Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Площадь поверхности составного многогранника

Многогранник состоит из двух прямоугольных параллелепипедов, соединённых вместе. Чтобы найти площадь поверхности всей фигуры, нужно сложить площади поверхностей обоих параллелепипедов, а затем вычесть площади, которые остались внутри (где они соприкасаются).

Шаг 1. Площадь поверхности первого параллелепипеда (размеры 1, 3, 4):

Площадь всех граней: $S_1 = 2(1 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 1) = 2(3 + 12 + 4) = 2 \cdot 19 = 38$

Шаг 2. Площадь поверхности второго параллелепипеда (размеры 1, 2, 3):

$S_2 = 2(2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3) = 2(2 + 3 + 6) = 2 \cdot 11 = 22$

Шаг 3. Вычитаем площадь соприкосновения:

Параллелепипеды соприкасаются по прямоугольнику со сторонами 2 и 3. Эта площадь засчитана в обоих параллелепипедах, поэтому её нужно вычесть дважды:

$S_{пересечения} = 2 \cdot 3 = 6$

Шаг 4. Итоговая площадь поверхности:

$$S = S_1 + S_2 - 2 \cdot S_{пересечения} = 38 + 22 - 2 \cdot 6 = 60 - 12 = 48$$