Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Площадь поверхности составного многогранника

Многогранник составлен из двух прямоугольных параллелепипедов, которые частично пересекаются. Найдём площадь поверхности, используя принцип сложения.

Шаг 1: Площадь поверхности первого параллелепипеда (6 × 6 × 2)

У параллелепипеда три пары противоположных граней. Вычислим сумму площадей всех граней: $$S_1 = 2 \cdot 6 \cdot 6 + 2 \cdot 6 \cdot 2 + 2 \cdot 6 \cdot 2 = 72 + 24 + 24 = 120$$

Шаг 2: Площадь поверхности второго параллелепипеда (3 × 3 × 4)

Аналогично вычисляем все грани: $$S_2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \cdot 4 = 18 + 24 + 24 = 66$$

Шаг 3: Вычтем площади пересечения

Когда два параллелепипеда соединяются, они перекрывают друг друга. Грани, которые находятся внутри составного многогранника, не входят в его поверхность. Второй параллелепипед размером 3 × 4 входит внутрь первого, поэтому его основание площадью $3 \cdot 4 = 12$ исчезает из поверхности, и ровно столько же площади первого параллелепипеда становится невидимым.

Вычитаем эти две скрытые прямоугольные грани: $$S = S_1 + S_2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 = 120 + 66 - 24 = 162$$

Итоговая площадь поверхности составного многогранника равна 162.