Шар в задании 3 ЕГЭ: формулы объёма и площади поверхности

О чём эта подтема

Задание 3 профильного ЕГЭ проверяет умение применять базовые формулы стереометрии к простым телам — призмам, пирамидам, цилиндрам, конусам и шару. Задачи на шар обычно самые короткие в этом блоке: они требуют не построения сложных чертежей, а точного знания двух формул — объёма шара и площади его поверхности — и умения быстро переходить между радиусом, диаметром, объёмом и площадью.

Особенность шара в том, что все его характеристики выражаются через единственный параметр — радиус $R$. Это делает задачи предсказуемыми: как правило, в условии либо радиус связан с объёмом/площадью напрямую, либо два шара сравниваются по отношению радиусов, и нужно понять, как это отношение «передаётся» на площадь или объём (с учётом степени — квадрат для площади, куб для объёма).

Часто в условии фигурирует не сам шар, а его "большой круг" — сечение шара плоскостью, проходящей через центр. Площадь такого круга равна $\pi R^2$, и через неё можно быстро выйти на площадь поверхности всего шара.

Что нужно знать

Для решения задач на шар в задании 3 достаточно твёрдо помнить всего несколько фактов.

1. Объём шара: $$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$$

2. Площадь поверхности шара (сферы): $$S = 4\pi R^2$$

3. Площадь большого круга шара (сечения через центр): $$S_{\text{кр}} = \pi R^2$$

Обратите внимание на прямую связь между этими величинами: площадь поверхности шара ровно в 4 раза больше площади его большого круга: $$S = 4\pi R^2 = 4 \cdot S_{\text{кр}}$$

Это наблюдение сильно упрощает многие задачи — не обязательно вычислять радиус, если известна площадь большого круга.

4. Диаметр шара $D = 2R$, поэтому если в условии дан диаметр, сначала находите радиус: $R = D/2$.

5. Как масштабируются объём и площадь при изменении радиуса. Если радиус второго шара в $k$ раз больше радиуса первого ($R_2 = kR_1$), то:

• площадь поверхности увеличивается в $k^2$ раз: $$\dfrac{S_2}{S_1} = \dfrac{4\pi R_2^2}{4\pi R_1^2} = \left(\dfrac{R_2}{R_1}\right)^2 = k^2$$

• объём увеличивается в $k^3$ раз: $$\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{\frac{4}{3}\pi R_2^3}{\frac{4}{3}\pi R_1^3} = \left(\dfrac{R_2}{R_1}\right)^3 = k^3$$

Это правило — одна из самых частых «ловушек» задания 3: ученики механически умножают отношение радиусов, забывая, что площадь зависит от квадрата, а объём — от куба радиуса.

6. Значение $\pi$. В большинстве задач число $\pi$ либо сокращается (в отношениях), либо остаётся в ответе в явном виде, либо в условии дано конкретное числовое значение площади/объёма, из которого $\pi$ уже «встроено» — тогда работать нужно чисто алгебраически, без подстановки численного значения 3,14.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения задач на шар в задании 3 практически всегда одинаков и состоит из трёх шагов.

Шаг 1. Определить, что дано и что нужно найти. Выясните, какая величина известна (радиус, диаметр, площадь большого круга, объём, площадь поверхности одного из шаров) и какую нужно вычислить. Запишите условие в виде формулы.

Шаг 2. Выбрать связывающую формулу.

• Если дана площадь большого круга $S_{\text{кр}}$ и нужна площадь поверхности $S$, используйте прямую связь: $$S = 4 S_{\text{кр}}$$

• Если дан радиус (или его можно найти) и нужен объём или площадь поверхности — подставьте в соответствующую формулу.

• Если сравниваются два шара по отношению радиусов $k$, используйте: $$\dfrac{S_2}{S_1} = k^2, \qquad \dfrac{V_2}{V_1} = k^3$$

Шаг 3. Подставить числа и получить ответ. Аккуратно проверьте, что $\pi$ либо сокращается, либо явно фигурирует в ответе — в зависимости от формулировки задачи. Если в задаче используется отношение величин, промежуточный радиус находить не нужно — работайте прямо с отношением.

Ключевая идея, которая экономит время: не всегда нужно вычислять радиус явно. Часто задача сводится к применению одного из «переходных» коэффициентов — умножению на 4 (переход от большого круга к поверхности) или возведению отношения радиусов в квадрат/куб.

Разбор примера

Пример 1.

Условие: площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

Шаг 1. Дано: $S_{\text{кр}} = 3$. Нужно найти $S$ — площадь поверхности шара.

Шаг 2. Используем формулу связи площади большого круга и площади поверхности шара. Большой круг — это сечение шара плоскостью через центр, его площадь равна $\pi R^2$. Площадь поверхности шара равна $4\pi R^2$. Значит: $$S = 4\pi R^2 = 4 \cdot (\pi R^2) = 4 \cdot S_{\text{кр}}$$

Шаг 3. Подставляем известное значение: $$S = 4 \cdot 3 = 12$$

Обратите внимание: радиус шара мы не находили и число $\pi$ отдельно не вычисляли — вся работа свелась к умножению данной площади на коэффициент 4. Это стандартный и самый быстрый путь для задач такого типа.

Ответ: 12.

Пример 2.

Условие: даны два шара. Радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Шаг 1. Обозначим радиус второго шара $R_2$, тогда радиус первого шара $R_1 = 2R_2$. Нужно найти отношение площадей поверхностей $\dfrac{S_1}{S_2}$.

Шаг 2. Площадь поверхности шара: $S = 4\pi R^2$. Запишем площади обоих шаров: $$S_1 = 4\pi R_1^2, \qquad S_2 = 4\pi R_2^2$$

Найдём отношение: $$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{4\pi R_1^2}{4\pi R_2^2} = \left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^2$$

Шаг 3. Подставляем отношение радиусов $\dfrac{R_1}{R_2} = 2$: $$\dfrac{S_1}{S_2} = 2^2 = 4$$

Важно понимать, почему возводим в квадрат, а не просто умножаем на 2: площадь пропорциональна квадрату радиуса, поэтому увеличение радиуса в 2 раза даёт увеличение площади в $2^2 = 4$ раза, а не в 2 раза. Если бы вопрос касался объёма, ответ был бы $2^3 = 8$.

Ответ: 4.

Типичные ошибки

1. Путаница между зависимостью площади и объёма от радиуса. Самая распространённая ошибка — использовать одинаковый коэффициент масштабирования для площади и объёма. Нужно твёрдо помнить: площадь пропорциональна $R^2$, объём — $R^3$. Если радиус увеличился в $k$ раз, площадь увеличится в $k^2$ раз, а объём — в $k^3$ раз, а не просто в $k$ раз.

2. Забывают формулу связи большого круга и площади поверхности. Вместо того чтобы сразу умножить площадь большого круга на 4, некоторые школьники пытаются сначала найти радиус через $\pi R^2 = S_{\text{кр}}$, затем подставить его в $4\pi R^2$ — это удлиняет решение и повышает риск арифметической ошибки. Прямая связь $S = 4S_{\text{кр}}$ работает быстрее и надёжнее.

3. Путают диаметр и радиус. Если в условии дан диаметр, а не радиус, нужно сначала разделить его на 2. Забывание этого шага — частая причина ошибки в 2 или 4 раза (в зависимости от того, для площади или объёма).

4. Ошибки при работе с числом $\pi$. В задачах на отношения $\pi$ обычно сокращается — не нужно подставлять численное значение 3,14 и совершать лишние вычисления. А если в задаче дано конкретное числовое значение площади или объёма (как в примере 1), $\pi$ уже «встроено» в это число, и повторно его учитывать не нужно.

5. Путают формулы объёма и площади поверхности между собой. Иногда механически применяют формулу $\frac{4}{3}\pi R^3$ там, где нужна площадь $4\pi R^2$, и наоборот. Перед решением полезно чётко зафиксировать, что именно ищем — площадь (квадратные единицы) или объём (кубические единицы).

На что обратить внимание на экзамене

При решении задачи на шар в задании 3 сначала определите, какая величина дана и какая требуется — это сразу подсказывает нужную формулу. Если в условии встречается «большой круг», сразу вспоминайте коэффициент 4 между его площадью и площадью поверхности шара — это самый быстрый путь к ответу.

Если задача сравнивает два шара через отношение радиусов, не вычисляйте радиусы отдельно: работайте прямо с отношением, возводя его в квадрат для площади или в куб для объёма. Это экономит время и снижает риск арифметической ошибки.

Проверяйте единицы и смысл ответа: если по смыслу задачи ответ должен быть больше 1 (площадь/объём большего шара по отношению к меньшему), а получилось число меньше 1 — где-то перепутаны числитель и знаменатель.

Наконец, держите в голове обе базовые формулы — $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ и $S = 4\pi R^2$ — и формулу площади большого круга $\pi R^2$. Именно на комбинации этих трёх формул строятся почти все задачи на шар в задании 3, и уверенное владение ими позволяет решать такие задачи за 30–60 секунд.