Задача 27125. Шар

Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Найдём сумму объёмов трёх шаров с радиусами 6, 8 и 10: $$V_{сум} = \frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 + \frac{4}{3}\pi \cdot 8^3 + \frac{4}{3}\pi \cdot 10^3$$

Вынесем общий множитель $\frac{4}{3}\pi$ за скобки: $$V_{сум} = \frac{4}{3}\pi(6^3 + 8^3 + 10^3)$$

Заметим, что радиусы — это 6 = 2·3, 8 = 2·4, 10 = 2·5. Вынесем множитель 2³ = 8: $$6^3 + 8^3 + 10^3 = (2 \cdot 3)^3 + (2 \cdot 4)^3 + (2 \cdot 5)^3 = 2^3(3^3 + 4^3 + 5^3)$$

Вычислим сумму кубов: $27 + 64 + 125 = 216 = 6^3$.

Получаем: $$V_{сум} = \frac{4}{3}\pi \cdot 2^3 \cdot 6^3 = \frac{4}{3}\pi(2 \cdot 6)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 12^3$$

Это объём шара с радиусом 12. Следовательно, искомый радиус равен 12.