Конус в задании 3 ЕГЭ профиль: формулы, метод, разбор примеров

О чём эта подтема

Задание 3 в профильном ЕГЭ по математике — это простая геометрическая задача на плоскую фигуру или тело, где нужно найти площадь, объём, длину элемента или угол по данным условия. Конус — одно из тел, которое регулярно встречается в этом задании наряду с цилиндром, шаром, призмой и пирамидой.

Особенность задач на конус в задании 3 в том, что почти всегда достаточно применить одну формулу напрямую или чуть преобразовать данные перед подстановкой. Здесь не требуется сложных построений сечений или доказательств — нужно точно знать формулы и уметь быстро связать между собой радиус, высоту, образующую, площади и объём. Иногда добавляется идея подобия — когда конус рассекают плоскостью, параллельной основанию.

Цель этого гайда — собрать весь необходимый теоретический минимум по конусу и показать чёткий алгоритм, который позволяет решать такие задачи за одну-две минуты без ошибок.

Что нужно знать

Конус задаётся тремя основными величинами, связанными между собой:

• $R$ — радиус основания;
• $h$ — высота (расстояние от вершины до центра основания, перпендикулярно основанию);
• $l$ — образующая (отрезок от вершины конуса до любой точки окружности основания).

Эти три величины связаны теоремой Пифагора, поскольку высота, радиус и образующая образуют прямоугольный треугольник: $$l^2 = R^2 + h^2.$$

Формулы площади.

Площадь основания — это площадь круга радиуса $R$: $$S_{\text{осн}} = \pi R^2.$$

Боковая поверхность конуса — это развёртка в виде кругового сектора. Её площадь: $$S_{\text{бок}} = \pi R l.$$

Эту формулу стоит запомнить особенно твёрдо: в задачах часто дают длину окружности основания или произведение $\pi R$ в неявном виде, и важно уметь работать с этой формулой гибко, не обязательно вычисляя $R$ отдельно.

Полная поверхность конуса — сумма площади основания и боковой поверхности: $$S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = \pi R^2 + \pi R l = \pi R (R + l).$$

Формула объёма.

Объём конуса вычисляется как треть произведения площади основания на высоту: $$V = \frac{1}{3} \pi R^2 h.$$

Это общая формула объёма для любого конуса (не обязательно прямого кругового), но в задании 3 почти всегда речь идёт о прямом круговом конусе, поэтому используется именно такая запись через $R$.

Длина окружности основания.

Иногда в условии дают не радиус, а длину окружности основания: $$C = 2\pi R.$$

Отсюда легко выразить $\pi R$ или $R$ через $C$, что часто удобнее, чем искать $R$ и $\pi$ отдельно.

Подобие при сечении, параллельном основанию.

Если конус пересечь плоскостью, параллельной основанию, то часть конуса, отсечённая от вершины, — это тоже конус, подобный исходному. Коэффициент подобия $k$ равен отношению высот (или расстояний от вершины): $$k = \frac{h_1}{h}.$$

При подобии с коэффициентом $k$:

• линейные размеры (радиус, высота, образующая) умножаются на $k$;
• площади (в том числе боковая поверхность) умножаются на $k^2$;
• объёмы умножаются на $k^3$.

Это ключевой факт для задач, где через середину высоты или в какой-то доле от вершины проводят сечение и просят найти объём или площадь получившейся малой части.

Дополнительные полезные соотношения.

Если известен угол при вершине осевого сечения (угол между образующими в сечении, проходящем через ось) или угол между образующей и плоскостью основания, можно выразить $R$, $h$, $l$ через тригонометрические функции этого угла. В задании 3 такие случаи редки, но не исключены, поэтому важно помнить: осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник со сторонами $l$, $l$ и основанием $2R$, а высота этого треугольника равна $h$.

Как решать: метод и алгоритм

Поскольку задание 3 — это, как правило, задача в одно-два действия, важно действовать по чёткой схеме, чтобы не тратить время и не допускать арифметических ошибок.

Шаг 1. Определить, что дано и что нужно найти. Выпишите из условия все числовые данные: что именно известно — радиус, диаметр, высота, образующая, длина окружности, объём, площадь. Отметьте, что требуется найти.

Шаг 2. Подобрать формулу, которая напрямую связывает известное и искомое. Если даны радиус и образующая, а нужна боковая поверхность — берите $S_{\text{бок}} = \pi R l$ напрямую. Если дана длина окружности вместо радиуса, не обязательно искать $R$ — часто удобнее выразить $\pi R$ сразу через данные.

Шаг 3. Если данных не хватает напрямую, воспользоваться теоремой Пифагора. Если известны, например, высота и радиус, а нужна образующая (или наоборот) — используйте: $$l = \sqrt{R^2 + h^2}.$$

Шаг 4. Если в задаче есть сечение, параллельное основанию, — применить подобие. Определите коэффициент подобия $k$ как отношение расстояний от вершины до сечения и до основания. Затем умножьте нужную величину на $k$, $k^2$ или $k^3$ в зависимости от того, что ищете (длина, площадь или объём).

Шаг 5. Подставить числа и довести вычисления до конца. В задании 3 ответ почти всегда — целое число или простая дробь. Если в процессе вычислений получается громоздкое выражение с корнями или дробями, вероятно, где-то ошибка в выборе формулы или в подстановке — стоит перепроверить шаг 2.

Шаг 6. Сверить единицы и здравый смысл ответа. Площадь и объём не могут быть отрицательными, образующая всегда больше высоты и больше радиуса по отдельности (так как это гипотенуза прямоугольного треугольника).

Разбор примера

Пример 1.

Условие: длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Шаг 1. Дано: $C = 3$, $l = 2$. Найти: $S_{\text{бок}}$.

Шаг 2. Формула боковой поверхности: $$S_{\text{бок}} = \pi R l.$$

Здесь нужно произведение $\pi R$, а не $R$ и $\pi$ по отдельности. Заметим, что длина окружности связана с $\pi R$ напрямую: $$C = 2\pi R \quad \Rightarrow \quad \pi R = \frac{C}{2}.$$

Шаг 3. Подставим данное значение: $$\pi R = \frac{3}{2} = 1{,}5.$$

Шаг 4. Теперь подставим в формулу боковой поверхности: $$S_{\text{бок}} = (\pi R) \cdot l = 1{,}5 \cdot 2 = 3.$$

Ответ: 3.

Этот пример показывает важный приём: не нужно искать $R$ и $\pi$ по отдельности, если в формуле участвует только их произведение. Такой ход экономит время и избавляет от необходимости работать с иррациональным числом $\pi$ напрямую.

Пример 2.

Условие: объём конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объём меньшего конуса.

Шаг 1. Дано: $V = 16$ — объём исходного конуса. Сечение проведено через середину высоты, параллельно основанию. Найти объём меньшего конуса (с вершиной у той же точки, что и у исходного, но с меньшим основанием).

Шаг 2. Поскольку сечение параллельно основанию и проходит через середину высоты, меньший конус подобен исходному с коэффициентом подобия $$k = \frac{h_1}{h} = \frac{1}{2},$$ где $h_1$ — высота меньшего конуса (расстояние от вершины до сечения), $h$ — высота исходного конуса.

Шаг 3. При подобии объёмы относятся как куб коэффициента подобия: $$\frac{V_1}{V} = k^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}.$$

Шаг 4. Отсюда объём меньшего конуса: $$V_1 = V \cdot \frac{1}{8} = 16 \cdot \frac{1}{8} = 2.$$

Ответ: 2.

Ключевая идея этого примера — не пытаться находить радиус или высоту исходного конуса в явном виде (они не даны и не нужны). Достаточно понять, что при сечении, параллельном основанию, получается подобная фигура, и применить свойство отношения объёмов подобных тел через куб коэффициента подобия.

Типичные ошибки

Путаница между высотой и образующей. Часто в условии дают одну величину, а по ошибке подставляют её вместо другой в формулу объёма или боковой поверхности. Важно чётко различать: высота $h$ — перпендикуляр к основанию, образующая $l$ — наклонная линия от вершины до окружности основания. В формулу объёма всегда входит именно высота, а в формулу боковой поверхности — именно образующая.

Ошибка в показателе степени при подобии. При сечении, параллельном основанию, легко перепутать, что на коэффициент подобия $k$ умножаются линейные размеры, на $k^2$ — площади, а на $k^3$ — объёмы. Частая ошибка — использовать $k^2$ вместо $k^3$ при работе с объёмом или, наоборот, $k^3$ вместо $k^2$ при работе с площадью.

Неверное определение коэффициента подобия. Если сечение сделано на определённом расстоянии от вершины или от основания, важно правильно определить, какая часть конуса от вершины соответствует новому меньшему конусу. Например, если сечение проходит через середину высоты, коэффициент подобия для меньшего конуса (у вершины) равен $\dfrac{1}{2}$, а не $\dfrac{1}{2}$ применительно к нижней части (усечённому конусу) — это не одно и то же тело, и его объём вычисляется иначе.

Попытка находить $R$ и $\pi$ по отдельности, когда это не нужно. Как показано в разборе первого примера, если в формуле участвует произведение $\pi R$, часто удобнее и быстрее выразить именно это произведение целиком через данные (например, через длину окружности), не выделяя число $\pi$ и радиус отдельно.

Забывание теоремы Пифагора. Если в задаче даны радиус и высота, а нужна образующая (или наоборот радиус и образующая, а нужна высота), забывают, что эти три величины связаны прямоугольным треугольником, и пытаются искать несуществующую прямую формулу.

Арифметические ошибки при работе с дробями. В задачах с подобием и объёмами часто возникают дроби вида $\dfrac{1}{8}$, $\dfrac{1}{27}$ и подобные — при возведении коэффициента подобия в куб. Нужно внимательно вычислять степень и не путать её с квадратом.

На что обратить внимание на экзамене

При решении задачи на конус в задании 3 в первую очередь стоит чётко зафиксировать, какие величины даны в условии — радиус, диаметр, длина окружности, высота, образующая, объём или площадь, — и сразу выбрать формулу, которая связывает именно эти величины с искомой без промежуточных лишних действий.

Если в условии есть слова «сечение, параллельное основанию» или упоминание середины высоты, доли высоты, — это верный сигнал, что нужно применять свойства подобных тел, а не пытаться искать все линейные размеры по отдельности. Такой подход работает быстрее и надёжнее.

Полезно держать в голове теорему Пифагора для конуса $l^2 = R^2 + h^2$ как связующее звено между тремя основными величинами — она нередко нужна как промежуточный шаг, даже если явно не упоминается в условии.

Стоит проверять на правдоподобность полученный ответ: если после вычислений получилось число с иррациональностями там, где ожидается простое число, вероятно, где-то была допущена ошибка в выборе формулы или в подстановке данных. В заданиях этого типа ответы обычно являются целыми числами или простыми конечными десятичными дробями.

Наконец, важно не терять время на слишком долгие вычисления: задание 3 рассчитано на быстрое решение в одно-три действия, и если решение затягивается, стоит вернуться к условию и проверить, не упущена ли более простая связь между данными величинами.