Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Конус

Шаг 1. Найдём радиус основания.

Диаметр основания конуса равен 6, поэтому радиус $r = 3$.

Шаг 2. Разберёмся с осевым сечением.

Осевое сечение конуса — это треугольник, проходящий через вершину конуса и диаметр основания. Вершины этого треугольника: вершина конуса и две противоположные точки на окружности основания.

Угол при вершине конуса (то есть при верхней вершине треугольника) равен 90°. Этот треугольник равнобедренный, так как обе боковые стороны — это образующие конуса длины $l$.

Шаг 3. Найдём соотношение между высотой и радиусом.

В равнобедренном треугольнике с углом 90° при вершине два угла при основании равны по $45°$ каждый. Высота конуса $h$ делит осевое сечение на два прямоугольных треугольника. В каждом из них один катет равен $r = 3$, а другой равен $h$.

Так как углы при основании по 45°, то $h = r = 3$.

Шаг 4. Вычислим объём, деленный на π.

Формула объёма конуса: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

Тогда: $$\frac{V}{\pi} = \frac{1}{3} \cdot r^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 3^2 \cdot 3 = \frac{1}{3} \cdot 27 = 9$$