ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Конус

Задача 501878. Конус

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.4.2 Конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, разверткаСечение — треугольник

Найдите площадь осевого сечения конуса, радиус основания которого равен 3, а образующая равна 5.

В подтеме 29 задач
Разбор
Главная идея: Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с основанием, равным диаметру, и высотой, которую находим через образующую и радиус по теореме Пифагора.

Осевое сечение конуса — это сечение, проходящее через ось конуса. Оно имеет форму равнобедренного треугольника AMB, где:

  • A и B — две точки на окружности основания, диаметрально противоположные друг другу
  • M — вершина конуса
  • O — центр основания

Шаг 1. Найдём основание треугольника сечения. Основание AM трёхугольника — это диаметр круга при основании конуса: AB=2r=2⋅3=6AB = 2r = 2 \cdot 3 = 6

Шаг 2. Найдём высоту треугольника сечения. Высота треугольника — это отрезок MO (от вершины конуса до центра основания). Используем прямоугольный треугольник MOB:

  • MB = 5 (образующая конуса — гипотенуза)
  • OB = 3 (радиус основания)

По теореме Пифагора: MO=MB2−OB2=52−32=25−9=16=4MO = \sqrt{MB^2 - OB^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4

Шаг 3. Вычислим площадь треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: S=12⋅AB⋅MO=12⋅6⋅4=12S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MO = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12

Типичные ошибки

  • Путают высоту конуса с образующей и подставляют неправильное значение в формулу площади
  • Забывают, что основание сечения — это диаметр, а не радиус
  • Неправильно применяют теорему Пифагора, забыв, что в прямоугольном треугольнике MOB именно MB является гипотенузой

Ещё задачи этой подтемы