Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Конус

Обозначим высоту большого конуса как $h$, а радиус его основания как $R$. Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$, поэтому для большого конуса: $\frac{1}{3}\pi R^2 h = 16$.

Сечение проведено через середину высоты параллельно основанию. Это означает, что от вершины конуса до сечения расстояние равно $\frac{h}{2}$. Меньший конус имеет ту же вершину и высоту $h' = \frac{h}{2}$.

Так как сечение параллельно основанию большого конуса, меньший конус подобен большому. По свойству подобных тел при параллельном сечении, радиус основания меньшего конуса также уменьшается в том же отношении, что и высота: $r = \frac{R}{2}$. Коэффициент подобия равен $k = \frac{1}{2}$.

Для подобных объёмных фигур объёмы относятся как куб коэффициента подобия: $\frac{V'}{V} = k^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$.

Следовательно, объём меньшего конуса: $V' = \frac{V}{8} = \frac{16}{8} = 2$.