Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Конус

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, где $r$ — радиус основания, $h$ — высота.

Шаг 1: Найдём высоту конуса.

Образующая конуса, высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник. Образующая является гипотенузой этого треугольника и наклонена к плоскости основания под углом 30°. Высота — это катет, противолежащий этому углу.

По свойству прямоугольного треугольника: катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы.

Образующая $l = 2$, поэтому $h = \frac{l}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Шаг 2: Найдём радиус основания.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному образующей, высотой и радиусом:

$$r^2 + h^2 = l^2$$ $$r^2 + 1^2 = 2^2$$ $$r^2 = 4 - 1 = 3$$ $$r = \sqrt{3}$$

Шаг 3: Вычислим объём.

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 3 \cdot 1 = \pi$$

По условию нужно найти $\frac{V}{\pi}$:

$$\frac{V}{\pi} = \frac{\pi}{\pi} = 1$$