Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Конус

В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC два катета равны между собой, и углы при гипотенузе составляют по 45°.

По условию один катет равен 6. Поскольку треугольник равнобедренный прямоугольный, второй катет также равен 6.

Когда треугольник вращается вокруг одного из катетов (длины 6), этот катет становится высотой конуса $h$, а второй катет — радиусом основания $r$.

Таким образом:

• $h = 6$ (ось вращения)
• $r = 6$ (расстояние от оси до противоположного катета)

Объём конуса: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

Найдём отношение объёма к $\pi$: $$\frac{V}{\pi} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi r^2 h}{\pi} = \frac{1}{3} r^2 h$$

Подставим значения: $$\frac{V}{\pi} = \frac{1}{3} \cdot 6^2 \cdot 6 = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 6 = \frac{216}{3} = 72$$