Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Конус

Нужно найти объём части конуса, соответствующей сектору с углом 90°.

Шаг 1: Определение параметров конуса. Из рисунка видно, что радиус основания $R = 9$, высота $H = 13$.

Шаг 2: Применение формулы объёма полного конуса. Общая формула: $V_{\text{полный}} = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot 9^2 \cdot 13 = \frac{1}{3} \cdot 81 \cdot 13 \cdot \pi = 351\pi$

Шаг 3: Определение доли конуса. Часть конуса, изображённая на рисунке, соответствует сектору основания с углом $90°$. Этот угол составляет $\frac{90°}{360°} = \frac{1}{4}$ от полного оборота.

Шаг 4: Вычисление объёма части. Объём части конуса равен $\frac{1}{4}$ от объёма полного конуса (так как высота остаётся той же, а площадь сектора основания пропорциональна углу):

$$V = \frac{1}{4} \cdot 351\pi = \frac{351\pi}{4} = 87{,}75\pi$$

Шаг 5: Выделение коэффициента. По условию нужно указать $\frac{V}{\pi}$:

$$\frac{V}{\pi} = 87{,}75$$