Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Конус

Проанализируем конус через его осевое сечение — плоскость, проходящую через ось конуса.

Осевое сечение конуса образует равнобедренный треугольник, где:

• вершина совпадает с вершиной конуса
• основание треугольника — диаметр основания конуса
• боковые стороны треугольника — образующие конуса

Дано:

• диаметр основания $d = 6$, следовательно, радиус $r = 3$
• образующая $l = 5$
• высота $h$ — это перпендикуляр из вершины конуса к центру основания

Высота конуса делит осевое сечение на два прямоугольных треугольника. В каждом из них:

• гипотенуза — образующая $l = 5$
• один катет — половина диаметра $\frac{d}{2} = 3$ (расстояние от центра основания до его края)
• другой катет — высота $h$

Применим теорему Пифагора: $$l^2 = h^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2$$

$$5^2 = h^2 + 3^2$$

$$25 = h^2 + 9$$

$$h^2 = 16$$

$$h = 4$$