Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Конус

Шаг 1. Найдём радиус основания конуса.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, проходящий через ось конуса. Его боковые стороны — образующие конуса, а основание — диаметр основания.

Образующая $l$, высота $h$ и радиус основания $r$ образуют прямоугольный треугольник (высота перпендикулярна основанию, образующая соединяет вершину конуса с точкой на окружности основания). По теореме Пифагора:

$$l^2 = h^2 + r^2$$

Подставляем известные значения: $10^2 = 8^2 + r^2$

$$100 = 64 + r^2$$ $$r^2 = 36$$ $$r = 6$$

Шаг 2. Вычислим площадь осевого сечения.

Осевое сечение — треугольник с основанием $2r = 12$ (диаметр) и высотой $h = 8$ (высота конуса, опущенная из вершины на основание).

Площадь треугольника:

$$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot h = r \cdot h = 6 \cdot 8 = 48$$