Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Конус

Шаг 1. Найдём высоту конуса.

Дана образующая $l = 6$ и радиус основания $r = 3$. По теореме Пифагора для осевого сечения конуса: $$H = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$

Шаг 2. Найдём радиус вписанного шара.

Для шара, вписанного в конус, существует формула, связывающая радиус шара $R$ с элементами конуса: $$R = \frac{H \cdot r}{r + l}$$

Подставляем найденные значения: $$R = \frac{3\sqrt{3} \cdot 3}{3 + 6} = \frac{9\sqrt{3}}{9} = \sqrt{3}$$

Шаг 3. Вычислим площадь поверхности шара.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: $$S = 4\pi R^2 = 4\pi(\sqrt{3})^2 = 4\pi \cdot 3 = 12\pi$$

Шаг 4. Разделим на π.

По условию требуется найти площадь, делённую на $\pi$: $$\frac{S}{\pi} = \frac{12\pi}{\pi} = 12$$