Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Конус

Шаг 1. Определяем полную высоту конуса

Плоскость делит высоту на 4 и 8, считая от вершины. Значит, полная высота конуса: $h = 4 + 8 = 12$.

Шаг 2. Находим коэффициент подобия

Плоскость, параллельная основанию, отсекает от исходного конуса меньший конус с вершиной в той же точке. Высота отсечённого конуса равна 4 (от вершины до секущей плоскости).

Коэффициент подобия этих конусов: $$k = \frac{h_{\text{отсечённый}}}{h_{\text{исходный}}} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$

Шаг 3. Применяем свойство подобия для площадей

Для подобных пространственных фигур площади соответствующих плоских сечений (в том числе оснований) относятся как квадрат коэффициента подобия: $$\frac{S_{\text{основания отсечённого}}}{S_{\text{основания исходного}}} = k^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$$

Шаг 4. Вычисляем площадь сечения

Площадь сечения совпадает с площадью основания отсечённого конуса: $$S_{\text{сечения}} = S_{\text{основания исходного}} \cdot \frac{1}{9} = 45 \cdot \frac{1}{9} = 5$$